一．知识梳理：
1. 共线向量定理。
共面向量定理。
空间向量分解定理。
2. 向量数量积的定义向量，的夹角范围是___
数量积性质。
3. 直线和方向向量分别为，，（或和重合。
或内。平面的法向量。
设分别是平面的法向量。
三垂线定理及逆定理的内容。
斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中。
中，分别表示。
两两所成的角。
4. 线面角公式：直线与平面所成的角为，的方向向量为，平面的法向量为，则有；二面角公式：
设平面的法向量分别为，则；点s到平面的距离，其中为直线as与平面交线的方向向量，为平面的单位法向量。
二．跟踪练习：
1. 平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β(
a．平行或重合 b．垂直 c．相交d．不确定。
2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
a. b. c. d.
3.如图，在长方体abcd－a1b1c1d1中，ab＝bc＝2，aa1＝1，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为( )
ab. cd.
4.设，，且，则 .
5.已知向量，，且，则。
6.在直角坐标系中，设a（-2，3），b（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为 ．
7．已知一四棱锥p－abcd的三视图如下，e是侧棱pc上的动点．
1）是否不论点e在何位置，都有bd⊥ae？证明你的结论；
2）若点e为pc的中点，求二面角d－ae－b的大小．
8.如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是边长为1的正方形，侧棱pa的长为2，且pa与ab、ad的夹角都等于600，是pc的中点，设．
1）试用表示出向量；
2）求的长．
9.如图，已知点p在正方体的对角线上，∠pda=60°.
1）求dp与所成角的大小；
2）求dp与平面所成角的大小。
10.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
1）证明：；
2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．答案解析：
7 . 解 (1)不论点e在何位置，都有bd⊥ae
证明如下：连结ac，∵abcd是正方形，∴bd⊥ac
pc⊥底面abcd 且平面∴bd⊥pc
又∴bd⊥平面pac
不论点e在何位置，都有ae平面pac
不论点e在何位置，都有bd⊥ae
2)以点c为坐标原点，cd所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：
则，从而。设平面ade和平面abe的法向量分别为。
由法向量的性质可得：，
令，则，∴
设二面角d－ae－b的平面角为，则，∴二面角d－ae－b的大小为。
8.解：（1）∵是pc的中点，∴
9.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．连结，．
在平面中，延长交于．
设，由已知，由，可得．
解得，所以．
1）因为，所以，即与所成的角为．
2）平面的一个法向量是．
因为，所以，可得与平面所成的角为．
10.（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．
2）解：设，为上任意一点，连接．
由（1）知平面，则为与平面所成的角．
在中，所以当最短时，最大，即当时，最大．
此时，因此．又，所以，所以．
由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以。
所以．设平面的一法向量为，则因此。
取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量．
又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
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