例1. 如图4－2－8所示在四棱锥p－abcd中，底面abcd是菱形，∠abc＝60°，pa⊥平面abcd，点m、n分别为bc、pa的中点，pa＝ab＝2.
1)证明：bc⊥平面amn；
2)**段pd上是否存在一点e，使得nm∥平面ace；若存在，求出pe的长；若不存在，说明理由。
解】 (1)证明因为abcd为菱形，所以ab＝bc，又∠abc＝60°，所以ab＝bc＝ac，又m为bc中点，所以bc⊥am.
而pa⊥平面abcd，bc平面abcd，所以pa⊥bc，又pa∩am＝a，所以bc⊥平面amn.
2)当点e是pd的中点时，nm∥平面ace，下面给出证明：
连结ne，ec，ae.
因为n、e分别为pa、pd中点。
所以ne∥ad且ne＝ad，又在菱形abcd中，cm∥ad，cm＝ad，所以ne∥mc，ne＝mc，即mcen是平行四边形，所以nm∥ec，又ec平面ace，nm平面ace，所以mn∥平面ace，即在pd上存在一点e，使得nm∥平面ace，此时pe＝pd＝.
例2. 如图4－2－9所示，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，ab＝2ef＝2，ef∥ab，ef⊥fb，∠bfc＝90°，bf＝fc，h为bc的中点．
1)求证：fh∥平面edb；
2)求证：ac⊥平面edb；
3)求四面体b－def的体积．
(1)设ac与bd交于点g，则g为ac的中点，连eg，gh，由于h为bc的中点，故gh綊ab
又ef綊ab，∴ef綊gh，
四边形efhg为平行四边形，eg∥fh，而eg平面edb，fh平面edb，fh∥平面edb.
2)由四边形abcd为正方形，有ab⊥bc.
又ef∥ab，∴ef⊥bc.而ef⊥fb，ef⊥平面bfc，∴ef⊥fh.
ab⊥fh.又bf＝fc，h为bc的中点，fh⊥bc.又∵ab∩bc＝b，∴fh⊥平面abcd.
fh⊥ac.又fh∥eg，∴ac⊥eg.
又ac⊥bd，eg∩bd＝g，∴ac⊥平面edb.
3)∵ef⊥fb，∠bfc＝90°，∴bf⊥平面cdef.
bf为四面体b－def的高，又bc＝ab＝2，∴bf＝fc＝.
s△efd＝ef·fc＝×1×＝.
vb－def＝××
变式训练：如图4－2－14所示，正方形abcd与直角梯形adef所在平面互相垂直，∠ade＝90°，af∥de，de＝da＝2af＝2.
图4－2－10
1)求证：ac⊥平面bde；
2)求证：ac∥平面bef；
3)求四面体b－def的体积．
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