第六练空间几何体的特征及表面积和体积。
1.正方体abcd_a1b1c1d1的棱长为2，点m是bc的中点，点p是平面abcd内的一个动点，且满足pm=2，p到直线a1d1的距离为，则点p的轨迹是（ ）
a.圆b.两直线c.两个点d.直线。
解：点p到a1d1的距离为，则点p到ad的距离为1，满足此条件的p的轨迹是到直线ad的距离为1的两条平行直线，又，满足此条件的p的轨迹是以m为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点。
故点p的轨迹是两个点。选项为c。
2．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）
．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补。
．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆。
．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上。
解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故a，c正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故d正确，b不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选b
4．如图，在正三角形abc中，d，e，f分别为各边的中点，g，h，i，j分别为af，ad，be，de的中点。将△abc沿de，ef，df折成三棱锥以后，gh与ij所成角的度数为（ ）
a．90b．60°
c．45d．0°
b解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示。hg与ij为一对异面直线。
过点d分别作hg与ij的平行线，即df与ad.所以∠adf即为所求。因此，hg与ij所成角为60°。
8．三棱柱abc—a1b1c1中，若e、f分别为ab、ac 的中点，平面eb1c1f将三棱柱分成体积为v1、v2的两部分，那么v1∶v2
解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为s，体积为v，则v=v1+v2＝sh。
e、f分别为ab、ac的中点，∴s△aef=s,v1=h(s+s+)=sh v2=sh-v1=sh，v1∶v2=7∶5。
9．在三棱锥s—abc中，∠sab=∠sac=∠acb=90°，且ac=bc=5，sb=5。（如图所示）
ⅰ）证明：sc⊥bc；
ⅱ）求侧面sbc与底面abc所成二面角的大小；
ⅲ）求三棱锥的体积vs－abc。
解析：（ⅰ证明：∵∠sab=∠sac=90°，∴sa⊥ab，sa⊥ac。
又ab∩ac=a，sa⊥平面abc。由于∠acb=90°，即bc⊥ac，由三垂线定理，得sc⊥bc。
ⅱ）解：∵bc⊥ac，sc⊥bc。
∠sca是侧面scb与底面abc所成二面角的平面角。
在rt△scb中，bc=5，sb=5，得sc==10。
在rt△sac中ac=5，sc=10，cossca=，∠sca=60°，即侧面sbc与底面abc所成的二面角的大小为60°。
ⅲ）解：在rt△sac中，sa=，s△abc=·ac·bc=×5×5=，vs－abc=·s△acb·sa=。
第七练空间中的平行和垂直关系。
15．α、是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线。给出四个论断：
m⊥n ②αn⊥β m⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。
m⊥α，n⊥β，m⊥n
或m⊥n，m⊥α，n⊥βα
第八练直线与方程。
5.过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线的方程是( c )
12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .y=2x或x+y-3=0
18. 直线与直线没有公共点，求实数m的值。
解：由已知，题设中两直线平行，当。
当m=0时两直线方程分别为x+6=0,-2x=0,即x=-6,x=0,两直线也没有公共点，综合以上知，当m=-1或m=0时两直线没有公共点。
20、过点（２，的直线ｌ被两平行直线与。
所截线段ａｂ的中点恰在直线ｘ－４上，求直线ｌ的方程。
解：设线段ａｂ的中点p的坐标（a，b），由p到l1，、l2的距离相等，得。
经整理得，，又点p在直线ｘ－４上，所以。
解方程组得即点p的坐标（-3，-1），又直线l过点（２，
所以直线ｌ的方程为，即。
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