学科网备战高考数学立体几何。
ⅰ）∵平面平面，，平面 ∴平面。
又∵平面∴ⅱ）取的中点，则连接、
平面平面，平面平面， ∴平面 ，∴从而平面
作于，连结，则由三垂线定理知从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为60°，∴
在中，由勾股定理得
在中， 在中，
在中， 故二面角的大小为。
ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系设，有，，
由直线与直线所成的角为60°，得。
即，解得 ∴，
设平面的一个法向量为，则。
由，取，得。
取平面的一个法向量为则。
由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为
ⅲ）多面体就是四棱锥。
75.（天津理19）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
ⅰ）证明；（ⅱ证明平面；（ⅲ求二面角的大小．
ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面
而平面， ⅱ）证明：由，，可得
是的中点，
由（ⅰ）知，，且，所以平面
而平面， 底面在底面内的射影是，，
又，综上得平面
ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结则（ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则
因此是二面角的平面角
由已知，得设，可得
在中，则 在中， 所以二面角的大小是
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角
由已知，可得，设，可得
于是， 在中，
所以二面角的大小是
76.（天津文19）如图，在四棱锥中，底面， ，是的中点．（ⅰ求和平面所成的角的大小；（ⅱ证明平面；
ⅲ）求二面角的大小．
ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故。
又，，从而平面故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角
在中，，故
所以和平面所成的角的大小为
ⅱ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故
由条件，，面
又面， 由，，可得
是的中点，， 综上得平面
ⅲ）解：过点作，垂足为，连结由（ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，可得设，可得，
在中，，，则
在中， 所以二面角的大小
77.（浙江理19）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．
）求证：；（求与平面所成的角．
方法一：（）证明：因为，是的中点，所以又平面，所以
）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，
是直线和平面所成的角
因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此
设，，在直角梯形中，，是的中点，所以，，，得是直角三角形，其中，所以
在中，，所以，故与平面所成的角是方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，
）证明：因为，，所以，故
）解：设向量与平面垂直，则，即，
因为，所以，，即，直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，因此直线与平面所成的角是。
78.（重庆理19）如题（19）图，在直三棱柱中，，；点分别在。
上，且，四棱锥。
与直三棱柱的体积之比为．
ⅰ）求异面直线与的距离；
ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值．
解法一：（ⅰ因，且，故面，从而，又，故是异面直线与的公垂线
设的长度为，则四棱椎的体积为。
而直三棱柱的体积为
由已知条件，故，解之得
从而 在直角三角形中，又因，故
ⅱ）如答（19）图1，过作，垂足为，连接，因，，故面
由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角
在直角中，又因，故，所以
解法二：（ⅰ如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，则，
设，则，又设，则，从而，即
又，所以是异面直线与的公垂线
下面求点的坐标设，则
因四棱锥的体积为。
而直三棱柱的体积为
由已知条件，故，解得，即
从而，， 接下来再求点的坐标由，有，即 （1）
又由得 （2）
联立（1），（2），解得，，即，得
故 ⅱ）由已知，则，从而，过作，垂足为，连接，设，则，因为，故。
因且得，即②
联立②解得，，即
则， 又，故，因此为所求二面角的平面角又，从而，故，为直角三角形，所以
79.（重庆文19）如题19图，在直三棱柱中，；点在棱上，，垂足为，求：
ⅰ）异面直线与的距离；
ⅱ）四棱锥的体积．
.解法一：（ⅰ由直三棱柱的定义知，又因为，因此，从而平面得，又
故是异面直线与的公垂线
由知，在中，
又因，故 ⅱ）由（ⅰ）知平面，又，故平面，即为四棱锥的高，从而所求四棱锥的体积为，其中为四边形的面积，如答（19）图1，过作，垂足为
在中， 又因，故
因的边上的高，故
又因为，从而
所以 解法二：（ⅰ如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则
因此， 设，则，因此，从而
又由题设，故是异面直线与的公垂线
下面求点的坐标
因，即，从而， （1）
又，且，得 （2）
联立（1），（2）解得，，即，
所以 ）由，，故面，即为四棱锥的高
因为， 而故所以
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