数学20分钟专题突破03
立体几何初步。
一。选择题。
1．已知直线则下列四个命题：
其中正确的是。
a．①②b．③④c．②④d．①③
2．如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是 （
a． b． c． d．
3．如图，abcd中，ab⊥bd，沿bd将△abd折起，使面abd⊥面bcd，连结ac，则在四面体abcd的四个面中，互相垂直的平面有（ ）对。
a．1 b．2
c．3 d．4
4．给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：
①若；②若是异面直线，；
③若；④若。
其中为假命题的是。
a．① b．② c．③ d．④
二。填空题：
1.正三棱锥p－abc的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是。
2、正三棱柱的底面边长为２，高为２，则它的外接球的表面积为___
3.在北纬60°圈上有a，b两地，它们在此纬度圈上的弧长等于 (是地球的半径)，则a，b两地的球面距离为。
三。解答题：
如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）当时，求直线与平面所成角的大小。
ⅲ) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心。
答案：一。选择题。
1.〖解析〗本题考查线面位置关系的判断，②④显然不正确。
答案〗d2. 〖解析〗本题考查三视图及椎体的体积计算。设底面半径为，高位，又，则，当即时，体积最大。
答案】ｃ3.〖解析〗本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面abd⊥面bcd，面abc⊥面bcd，面abd⊥面acd，答案】ｃ
4.〖解析〗本题考查线线，线面及面面位置关系的判定。
答案】ｃ二。填空题：
1. 【答案】3
2.【答案】
3. 【答案】
三。解答题：
解法一：（ⅰ过p作mn∥b1c1，分别交a1b1、d1c1于m、n，则m、n分别为 a1b1、d1c1的中点，连mb、nc，则四边形bcnm是平行四边形 ……2分。
e、m分别为ab、a1b1中点，∴a1e∥mb
又mb平面pbc，∴a1e∥平面pbc。……4分。
ⅱ） 过a作af⊥mb，垂足为f，连pf，bc⊥平面abb1a1，af平面abb1a1，af⊥bc， bc∩mb=b，∴af⊥平面pbc，∠apf就是直线ap与平面pbc所成的角，……7分。
设aa1=a，则ab=a，af=，ap=，sin∠apf=。所以，直线ap与平面pbc所成的角是9分。
ⅲ）连op、ob、oc，则op⊥bc，由三垂线定理易得ob⊥pc，oc⊥pb，所以o在平面pbc中的射影是△pbc的垂心，又o在平面pbc中的射影是△pbc的重心，则△pbc为正三角形。即pb=pc=bc，所以。
反之，当k=时，pa=ab=pb=pc=bc，所以三棱锥为正三棱锥，o在平面pbc内的射影为的重心。
高考数学立体几何
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