专题三立体几何专题学科网。
学科网。例题解析】学科网。
题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网。
例1 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为学科网。
abc． 4d． 学科网。
科网。例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网。
abcd．学科网。
学科网。学科网。
例3 已知一个正三棱锥的主视图如图所示，若， 学科网。
则此正三棱锥的全面积为学科网。
学科网。网。
题型2 空间点、线、面位置关系的判断学科网。
例4 已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：学科网。
若，，则；学科网。
若，则；学科网。
若，则；学科网。
若，则．学科网。
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号学科网。
例5 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是学科网。
a．若，则 b．若则学科网。
c．若，则 d．若则学科网。
学科网。分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．学科网。
解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，，学科网，所以学科网。
当且仅当时取等号．学科网。
学科网。点评：本题是高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决．学。
分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答．学科网。
解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是，母线长是，球的半径是，故其表面积是，答案d．
点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则．
学科网。分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长．学科网。
解析：这个正三棱锥的底面边长是、高是，故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是，故这个正三棱锥的侧棱长是，由此知道这个正三棱锥的侧面也是边长为的正三角形，故其全面积是，答案．学。
点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心．学科。
分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断．学科网。
解析：我们借助于长方体模型解决．①中过直线作平面，可以得到平面所成的二面角为直二面角，如图（1），故①正确；②的反例如图（2）；③的反例如图（3）；④中由可得，过作平面可得与交线平行，由于，故．答案①④．学科网。
学科网。点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的．学科网。
分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断．学科网。
解析：对于，结合则可推得．答案c．学科网。
点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异，但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度．
题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）
例6． 如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的学科网。
中点．学科网。
1）求证：//平面；学科网。
2）求证：；学科网。
3）求三棱锥的体积．学科网。
学科网。学科网。
例7．在四棱锥中，，，平面，为的中点，．学科网。
1）求四棱锥的体积；学科网。
2）若为的中点，求证平面；学科网。
3）求证∥平面．学科网。
学科网。分析：第一问就是找平行线，最明显的就是；第二问转化为线面垂直进行证明；第三问采用三棱锥的等积变换解决．学科网。
解析：（1）连结，如图，在中，学科网。
分别为，的中点，则学科网。
平面．学科网。
学科网。学科网。
学科网。2）学科网。
学科网。3）平面，且，学科网，学科网。
学科网。 即，学科网。
= ．学科网。
点评：空间线面位置关系证明的基本思想是转化，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证明线线垂直，但问题不能只局限**上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又得借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形，可以通过“换顶点”实行等体积变换，这也是求点面距离的基本方法之一．
分析：第一问只要求出底面积和高即可；第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明；第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定理解决，也可以通过证明面面平行解决，即通过证明直线所在的一个平面和平面的平行解决．学科网。
解析：（1）在中，，∴学科网。
在中，，∴学科网。
．学科网。则． 学科网。
2）∵，为的中点，∴．学科网。
平面，∴，平面，∴．学科网。
为中点，为中点，∴∥则，∵，平面．学科网。
3）证法一：学科网。
取中点，连．则∥，∵平面， 平面，学科网。
∥平面． 学科网。
在中，，，而，∴∥学科网。
平面， 平面，学科网。
∥平面． 学科网，∴平面∥平面．学科网。
平面，∴∥平面． 学科网。
学科网。学科网。
学科网。学科网。
学科网。学科网。
证法二：延长，设它们交于点，学科网。
连．∵，学科网。
为的中点． ∵为中点，∴∥学科网。
平面， 平面，学科网。
∥平面． 学科网。
点评：新课标高考对立体几何与大纲的高考有学科网。
了诸多的变化．一个方面增加了空间几何体的三视图、学科网。
表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了学科网。
三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念。
与性质、球的性质与球面距离，删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明（主要是平行与垂直）．
题型4 空间向量在立体几何中的应用。
例8．如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点．
1）求证：∥平面；
2）求异面直线与所成的角的余弦值；
3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
解析】解法一：如图分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由已知得、、
（1）取中点，则，又，由，与共线．从而∥，平面， 平面，∴∥平面．
（2）∵，异面直线与所成角的余弦值为．
3）假设满足条件的点存在，可设点（），平面的一个法向量为，
则 ∵ 取．
易知平面的一个法向量，依题意知， 或，，即，解得，∴在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为．
解法二：1）同解法一知共面．又∵平面，∴∥平面．
2）、（3）同解法一．
解法三：易知平面的一个法向量是．又∵，由·，，而平面，∴∥平面．
2）、（3）同解法一．
点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力．利用空间向量证明线面平行的方法基本上就是本题给出的三种，一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线，二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据共面向量定理作出结论；三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直．
例9 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
1）求异面直线与所成角的余弦值；
2）求二面角的正弦值；
3）求此几何体的体积的大小．
解析】（1）取的中点是，连结，则，∴或其补角即为异面直线与所成的角．在中，，．
异面直线与所成的角的余弦值为．
2）平面，过作交于，连结．
可得平面，从而，为二面角的平面角．在中，，，
二面角的的正弦值为．
3），∴几何体的体积为．
方法二：（坐标法）（1）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系．
则，，，异面直线与所成的角的余弦值为．
2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，从而，令，则，
二面角的的正弦值为．
3），∴几何体的体积为．
点评：本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法．空间向量对解决三类角（异面直线角、线面角、面面角）的计算有一定的优势．对理科考生来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外，不要忽视了传统的方法，有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量．
题型5 距离（点到平面，线与线、线与面、面与面）
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用。
典型例题。例10如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的三角函数值；
ⅲ）求点到平面的距离．
例2. 如图，已知两个正四棱锥p-abcd与q-abcd的高分别为1和2,ab=4.
ⅰ)证明pq⊥平面abcd；
ⅱ)求点p到平面qad的距离。
考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的。
大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维。
能力和运算能力．
解答过程：解法一：（ⅰ取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为。
的中点，，．
在正方形中，，平面．
ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（ⅰ）得平面．
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，又，．
所以二面角的正弦值为．
ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由，得，点到平面的距离为．
解法二：（ⅰ取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，
平面．ⅱ）设平面的法向量为．
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