第二课时直线与平面平行。
一、知识梳理。
1．直线和平面的位置关系。
1）直线在平面内（无数个公共点）；
2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，．
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：．
证明：假设直线a不平行与平面，，∴若，则和矛盾，若，则a和b成异面直线，也和矛盾，．
3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
推理模式：．
证明：∵，a和没有公共点，又∵，∴a和b没有公共点；
即a和b都在内，且没有公共点，∴．
4 定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面交点叫做垂足。
直线l与平面α垂直记作：l⊥α
画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。
5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
已知：l⊥m，l⊥n，m∩n＝b，mα，nα.
求证：l⊥α
分析：根据直线与徘徊平行的定义，要证l⊥α,只要证明l垂直于α内任意一条直线g.可以先证明m,n都通过点b时命题成立，然后再推广到其它情况。
证明：设g是平面α内任一直线。
1）当l、g都通过点b时，在l上点b的两侧分别取点a、a′，使ab=a′b，则由已知条件推出m、n都是线段aa′的垂直平分线。
1°g与m（或n）重合。
那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.
2°g与m（或n）不重合，那么在α内任作一线cd
m∩cd=c,n∩cd=d,g∩cd=e
连结ac、a′c、ad、a′d、ae、a′e.
ac=a′c，ad=a′d，cd=cd，△acd≌△a′cd,得∠ace=∠a′ce
即△ace≌△a′ce,那么ae=a′e
g是aa′的垂直平分线，于是l⊥g
2）当l、g不都通过点b时。
过点b作l′、g′，使l′∥l，g′∥g
同理可证l′⊥g′，因而l⊥g
综上所述，无论l、g是否通过点b，总有l⊥g.
由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α
6．直线和平面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那麽这两条直线平行
7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
9.点在平面内的射影：过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影。点在平面内的射影还是一个点。
10..垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
11．.斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线。
12..斜足：斜线和平面的交点。
13.斜线段：从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段，依上图，pr∩α=r,pr不垂直α，直线pr是α的一条斜线，点r是斜足，线段pr是点p到α的斜线段。
14.斜线的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
15..斜线段的射影：垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影。
16.定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中。
1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
3）垂线段比任何一条斜线段都短。
ao是平面α的垂线段，ab、ac是平面α的斜线段，ob、oc分别是ab、ac在平面α内的射影，这时有：
1）ob=ocab=ac
ob＞ocab＞ac
2）ab=acob=oc
ab＞acob＞oc
3）ao＜ab,ao＜ac
17.直线和平面所成的角。
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角。
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角。
如图。l是平面α的一条斜线，点o是斜足，a是l上任意一点，ab是α的垂线，点b是垂足，所以直线ob（记作l′）是l在α内的射影，∠aob（记作θ）是l与α所成的角。
18.最小角定理。
斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角。
19 三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
2）推理模式：
20．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：．
注意：⑴三垂线指pa，po，ao都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
二、基础题。
两直线平行于平面α，那么a、b的位置关系是（ ）
a.平行 b.相交 c.异面 d.可能平行、可能相交、可能异面。
2.直线a∥b，b//α则a与α的位置关系是（ ）
与α相交 与α不相交
3.直线m与平面α平行的充分条件是（ ）
且mn=pq
4.在以下的四个命题中，其中正确的是（ ）
直线与平面没有公共点，则直线与平面平行 ②直线上有两点到平面的距离相等（距离不为零），则直线与平面平行 ③直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行 ④直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行。
abcd.①②
5.若直线ｍ不平行于平面α，且ｍα，则下列结论成立的是。
a.α内的所有直线与ｍ异面 b.α内不存在与ｍ平行的直线。
c.α内存在惟一的直线与ｍ平行 d.α内的直线与ｍ都相交。
6.ｂ是平面α外的一条直线，下列条件中可得出ｂ∥α的是。
a.ｂ与α内的一条直线不相交 b.ｂ与α内的两条直线不相交。
c.ｂ与α内的无数条直线不相交 d.ｂ与α内的所有直线不相交。
7.下列命题正确的个数是。
若直线l上有无数个点不在平面α内，则ｌ∥α
若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行。
如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行。
若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
a.0个b.1个c.2个 d.3个。
8.过直线外一点，与这条直线平行的直线有___条，过直线外一点，与这条直线平行的平面有___个。
9.过两条异面直线中的一条可作___个平面与另一条平行。
10.过平面外一点，与这个平面平行的直线有___条。
是两条异面直线a、b外一点，过点p可作___个平面与a、b都平行。
答案：dcbbbdb 8. 1 无数 9. 1 10. 无数 11. 1
12.如果a、b是异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是（ ）
与α相交 不确定。
13.如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是（ ）
a .平行b.相交c.异面d.不确定。
14.下面给出四个命题，其中正确命题的个数是（ ）
若a∥α、b∥α，则a∥b ②若a∥α，bα,则a∥b ③若a∥b，bα，则a∥α 若a∥b，b∥α，则a∥α
a.0b.1c.2d.4
15.下列说法正确的是（ ）
a.若直线a平行于面α内的无数条直线，则a∥α
b.若直线a在平面α外，则a∥α
c.若直线a∥b，直线bα，则a∥α
d.若直线a∥b，直线bα,则直线a平行于平面α内的无数条直线。
16.下列命题中，正确的是（ ）
a.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，则l∥α
b.如果直线l与平面α内无数条直线平行，则l∥α
c.如果直线l与平面α内一条直线成异面直线，且与α内一条直线平行，则l∥α
d.如果一条直线与一个平面平行，则该直线平行于这个平面内的所有直线。
17.判断题。
1)一条直线平行于一个平面，这条直线就与这个平面内的任意直线不相交。(
2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行。
3)过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。
4)ａ、是异面直线，则过ｂ存在惟一一个平面与a平行。
18.如果直线m∥平面α，直线nα，则直线m、n的位置关系是___
19.已知：e为正方体abcd—a1b1c1d1的棱dd1的中点，则bd1与过a、c、e的平面的位置关系是___
20.在正方体abcd—a1b1c1d1中，和平面a1db平行的侧面对角线有___
答案：1—5、ddadc 17、(1)√ 2) ×3) ×4) √
18、平行或异面 19、平行 20、d1c、b1c、d1b1
是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的（ ）
高考数学专题训练 立体几何 2
27.北京理16 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，求证 平面。若求与所成角的余弦值 当平面与平面垂直时，求的长。证明 因为四边形abcd是菱形，所以ac bd.又因为pa 平面abcd.所以pa bd.所以bd 平面pac.设ac bd o.因为 bad 60 pa pb 2,所以bo 1，ao...
高考数学专题立体几何专题
专题三立体几何专题学科网。学科网。例题解析 学科网。题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网。例1 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为学科网。abc 4d 学科网。科网。例2下图是...
高考专题复习 立体几何
2014届高考专题复习 立体几何。综合题。1 图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的 分别为，的中点，分别为，的中点 1 证明 四点共面 2 设为中点，延长到，使得 证明 平面 2 如图所示，直棱柱中，底面是直角梯形，1 求证 平面 ...