2024年高考数学（理）二轮专题复习测试：三角函数与平面向量。
一、填空题(每小题5分，共70分)
1．已知α∈，cos α＝tan 2α等于___
解析由于α∈，cos α＝则sin α＝那么tan α＝2，则tan 2α＝＝
答案 －2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于___
解析由于|a|＝，而|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，则有b2＝25，解得|b|＝5.
答案 53．(2013·苏锡常镇调研)已知钝角α满足cos α＝则tan的值为___
解析因为α是钝角，所以是锐角，cos α＝2cos2－1＝－，所以cos＝，sin＝，tan＝2，所以tan＝＝－3.
答案 －34．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为___
解析因为(a＋b)⊥，所以(a＋b)·＝a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0.所以a·b＝1.
又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角的取值范围是[0，π]所以a与b的夹角为。
答案 5．(2013·南京模拟)
函数y＝asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(0
解析由图知，a＝2.
函数的周期(用区间长度表示)为－＝4π，＝4π，ω
又∵在函数的图象上，2sin＝0，得×＋φ0，即φ＝.
函数的解析式为f(x)＝2sin，f(0)＝.
答案 6．若m为△abc所在平面内一点，且满足(m－m)·(m＋m－2m)＝0，则△abc为___三角形．
解析由(m－m)·(m＋m－2m)＝0，可知c·(a＋a)＝0，设bc的中点为d，则a＋a＝2a，故c·a＝0，所以c⊥a.又d为bc中点，故△abc为等腰三角形．
答案等腰。7．在△abc中，ab＝2，ac＝3，bc＝4，则角a，b，c中最大角的余弦值为___
解析根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角a最大，由余弦定理得cos a＝＝＝
答案 －8．(2012·南京、盐城模拟)已知正△abc的边长为1，＝7＋3，则。
解析 ·＝7＋3)·＝7·＋3·＝－2.
答案 －29．(2013·盐城调研)△abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，向量m＝(2sin b,2－cos 2b)，n＝，m⊥n，∠b
解析由m⊥n，得m·n＝0，所以4sin b·sin2＋cos 2b－2＝0，所以2sin b＋cos 2b－2＝0，即2sin b＋2sin2b＋1－2sin2b－2＝0，也即sin b＝，又因为0答案或π
如图，在△abc中，d是边ac上的点，且ab＝ad,2ab＝bd，bc＝2bd，则sin c的值为___
解析设ab＝c，则ad＝c，bd＝，bc＝，在△abd中，由余弦定理得cos a＝＝，sin a＝，在△abc中，由正弦定理得＝，解得sin c＝.
答案 11．在△abc所在的平面上有一点p满足＋＋＝则△pbc与△abc的面积之比是___
解析因为＋＋＝所以＋＋＋0，即＝2，所以点p是ca边上的靠近a点的一个三等分点，故＝＝.
答案 12．在△abc中，若ab＝1，ac＝|a＋a|＝|b|，则＝__
解析如图，a＋a＝a，依题意，得|a|＝|b|，所以四边形abdc是矩形，∠bac＝90°. 因为ab＝1，ac＝，所以bc＝2.
cos∠abc＝＝，b|cos∠abc＝.
答案 13．已知f(x)＝sin x，x∈r，g(x)的图象与f(x)的图象关于点对称，则在区间[0,2π]上满足f(x)≤g(x)的x的范围是___
解析设(x，y)为g(x)的图象上任意一点，则其关于点对称的点为，由题意知该点在f(x)的图象上，所以－y＝sin，即g(x)＝－sin＝－cos x，由sin x≤－cos x，得sin x＋cos x＝sin≤0，又因为x∈[0,2π]，从而解得≤x≤.答案
2013·泰州模拟)如图，在直角三角形abc中，ac＝，bc＝1，点m，n分别是ab，bc的中点，点p是△abc(包括边界)内任一点，则·的取值范围为___
解析以点c为原点，cb所在直线为x轴，ca所在直线为y轴，建立如图所示直角坐。
标系，设p(x，y)，则由题可知b(1,0)，a(0，)，n，m，所以＝，＝所以·＝－y＋＝－y＋，直线ab的方程为x＋y－＝0.
由题可知由线性规划知识可知，当直线－y＋－z＝0过点a时有最小值－，过点b时有最大值。
答案 二、解答题(共90分)
15．(本小题满分14分)已知a＝(sin α，1), b＝(cos α，2)，α
1)若a∥b，求tan α的值；
2)若a·b＝，求sin的值．
解 (1)因为a∥b，所以2sin α＝cos α，所以tan α＝
2)因为a·b＝，所以sin αcos α＋2＝即sin 2α＝.
因为α∈，所以2α∈，所以cos 2α＝＝
所以sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝×＋
16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x，x∈.
1)求f(x) 的零点；
2)求f(x)的最大值和最小值．
解 (1)令f(x)＝0得sin x·(sin x＋cos x)＝0，所以sin x＝0，或tan x＝－.
由sin x＝0，x∈，得x＝π；
由tan x＝－，x∈，得x＝.
综上，函数f(x)在上的零点为或π.
2)f(x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x
sin＋.因为x∈，所以2x－∈.
当2x－＝，即x＝时，f(x)的最大值为；
当2x－＝，即x＝时，f(x)的最小值为－1＋.
17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝msin(ωx＋φ)m>0，ω>0，|φ的部分图象如图所示．
1)求函数f(x)的解析式；
2)在△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若(2a－c)cos b＝bcos c，求f的取值范围．
解 (1)由图象知m＝1，f(x)的最小正周期t＝4×＝π故ω＝＝2.
将点代入f(x)的解析式得sin＝1，即＋φ＝2kπ＋，2kπ＋，k∈z，又|φ|
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
2)由(2a－c)cos b＝bcosc，得。
2sin a－sin c)cos b＝sin bcos c，2sin acos b＝sin(b＋c)＝sin a.
sin a≠0，∴cos b＝，b＝，∴a＋c＝.
f＝sin，又∵0∴sin∈，∴f∈.
18．(本小题满分16分)(2013·湖北卷)在△abc中，角a，b，c对应的边分别是a，b，c.已知cos 2a－3cos(b＋c)＝1.
1)求角a的大小；
2)若△abc的面积s＝5，b＝5，求sin bsin c的值．
解 (1)由cos 2a－3cos(b＋c)＝1，得2cos2a＋3cos a－2＝0，即(2cos a－1)(cos a＋2)＝0，解得cos a＝或cos a＝－2(舍去)．
因为0(2)由s＝bcsin a＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos a＝25＋16－20＝21，故a＝.
又由正弦定理得sin bsin c＝sin a·sin a＝
sin2a＝×＝
19．(本小题满分16分)(2013·江西卷)在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知cos c＋(cos a－sin a)cos b＝0.
1)求角b的大小；
2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解 (1)由已知得－cos(a＋b)＋cos acos b－sin acos b＝0，即有sin asin b－sin acos b＝0，因为sin a≠0，所以sin b－cos b＝0，即cos b＝sin b.
所以tan b＝，又因为0所以b＝.
2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos b，因为a＋c＝1，cos b＝，所以b2＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32
(a＋c)2＝，∴b≥.
又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1.
20．(本小题满分16分)(2013·江苏卷)
如图，游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径．一种是从a沿直线步行到c，另一种是先从a沿索道乘缆车到b，然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山，甲沿ac匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从a乘缆车到b，在b处停留1 min后，再从b匀速步行到c.
假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路ac长为1 260 m，经测量cos a＝，cos c＝.
1)求索道ab的长；
2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解 (1)在△abc中，因为cos a＝，cos c＝，所以sin a＝，sin c＝.
从而sin b＝sin[π－a＋c)]＝sin(a＋c)＝sin acos c＋cos asin c＝×＋
由正弦定理＝，得ab＝×sin c＝
＝1 040(m)．
所以索道ab的长为1 040 m.
2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离a处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
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