立体几何。
一、 空间线面的垂直与平行。
证明线面平行：(1) 线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直；
2) 转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题，即应用共面向量定理来证明，但要说明该直线不在平面内。
证明线面垂直：一是判定定理；二是直线的方向向量与平面的法向量平行。
例1、在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中，e,f分别为棱ab和bc的中点，试在棱bb1上找一点m,使得d1m⊥平面efb1.
解建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz,则a(1,0,0),b1(1,1,1),c(0,1,0),d1(0,0,1),e,所以=,=1,1,0).
而e,f分别为棱ab和bc的中点，所以==.
设点m(1,1,m),所以=(1,1,m-1).
因为d1m⊥平面efb1,所以d1m⊥ef,d1m⊥b1e,所以·=0,·=0,即解得m=.
故当m为棱b1b的中点时，d1m⊥平面efb1.
2. 如图(1),在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=1,bb1=2,e是棱cc1上一点，且ce=cc1,求证：a1c⊥平面bde.
证明如图(2),以a为坐标原点，ab,ad,aa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系a-xyz,则b(1,0,0),d(0,1,0),e,a1(0,0,2),c(1,1,0),所以=(1,1,-2),=1,1,0),=
因为·=(1,1,-2)·(1,1,0)=1×(-1)+1×1+(-2)×0=0,·=1,1,-2)·=1×0+1×1+(-2)×=0,所以⊥,⊥所以a1c⊥bd,a1c⊥be.
因为be∩bd=b,be平面bde,bd平面bde,所以a1c⊥平面bde.
例3】 如图(1),在正方体abcd-a1b1c1d1中，e为bb1的中点，f为cd的中点，g为ab的中点，求证：平面ade⊥平面a1fg
例3(1))
证明以d为坐标原点，da,dc,dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系d-xyz,设正方体的棱长为1.
e,a(1,0,0,),a1(1,0,1),g,f1,0,0).
a1g∩gf=g ∴ae⊥平面a1gf.
又ae平面ade, ∴平面ade⊥平面a1gf.
二、 空间角的计算。
1、 两条异面直线所成的角：（0，900] 与它们的方向向量所成的角相等或互补。
设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量a,b的夹角为φ,则有cosθ=|cosφ|=
2、 直线和平面所成的角：可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得。
设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量a与平面的法向量u的夹角为φ,则有sinθ=|cosφ|=
3、 平面与平面的夹角。
二面角的取值范围是[0°,180°],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角φ相等或互补。图1中，θ=图2中，θ=180°-φ
图2)图1)
例题：1. 已知a,b分别是异面直线l1,l2的方向向量，且cos=-,则异面直线l1和l2所成角的大小为 45° .
2. 已知直线l的方向向量a=(1,-1,1),平面α的法向量b=(2,-4,1),则直线l和平面α所成角的余弦值为 .
3、如图(1),在棱长为3的正方体abcd-a1b1c1d1中，a1e=cf=1.
1)求异面直线ac1与d1e所成角的余弦值；
2)求直线ac1与平面bed1f所成角的正弦值。
解 (1) 以d为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系d-xyz,则a(3,0,0),c1(0,3,3),d1(0,0,3),e(3,0,2),所以=(3,0,-1),=3,3,3), 所以cos<,>即异面直线ac1与d1e所成角的余弦值为。
2) 因为b(3,3,0),所以=(0,-3,2).
设平面bed1f的一个法向量为n=(x,y,z),由得所以则n=(x,2x,3x),不妨取n=(1,2,3).
设直线ac1与平面bed1f所成的角为α,则sinα=|cos<,n>|=
所以直线ac1与平面bed1f所成角的正弦值为。
例2】已知e,f分别是正方体abcd-a1b1c1d1的棱bc和cd的中点。
1)求a1d与ef所成角的大小；
2)求a1f与平面b1eb所成角的正弦值；
3)求二面角c-d1b1-b的余弦值。
解以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz,则a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),a1(1,0,1),b1(1,1,1),c1(0,1,1),e,f.
1)因为=(-1,0,-1),=0, 所以。
由cos<,>可知向量与的夹角为60°.
因此，a1d与ef所成角的大小为60°.
2)在正方体abcd-a1b1c1d1中，因为ab⊥平面b1c1cb,所以是平面b1eb的一个法向量。
因为=(0,1,0),=所以||=1,||
由cos<,>可得向量与的夹角约为70.53°.
(3)因为ac1⊥平面b1d1c,所以是平面b1d1c的一个法向量。
又因为ac⊥平面b1d1db,所以是平面b1d1db的一个法向量。
因为=(-1,1,1),=1,1,0), 所以2.
由cos<,>对应练习。
1、在正方体abcd-a1b1c1d1中，f是bc的中点，点e1在d1c1上，且d1e1=d1c1,试求直线e1f与平面d1ac所成角的正弦值。[5]
解以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz,则b1(1,1,1),e1,f,所以=(1,1,1),=
设与所成的角为θ.
因为·=1×+1×+1×(-1
则cosθ==
因为是直线e1f的方向向量，是平面d1ac的法向量，所以e1f与平面d1ac所成的角是θ的余角，所以直线e1f与平面d1ac所成角的正弦值为。
2、如图(1),已知三棱柱abc-a1b1c1的侧面与底面垂直，aa1=ab=ac=1,ab⊥ac,m,n,p分别是cc1,bc,a1b1的中点。
1)求证：pn⊥am; (2)若直线mb与平面pmn所成的角为θ,求cosθ的值。
解 (1) 建立如图(2)所示空间直角坐标系a-xyz,则a(0,0,0),b(1,0,0),p,m,n,所以=,=
因为·=0×0+1×+(1)×=0, 所以pn⊥am.
设平面pmn的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则即
令y1=2,得z1=1,x1=3 ,所以n1=(3,2,1). 又=,所以sinθ==故cosθ=.
3、如图(1),在三棱柱oab-o1a1b1中，平面obb1o1⊥平面oab,∠o1ob=60°,∠aob=90°,且ob=oo1=2,oa=,求异面直线a1b与ao1所成角的余弦值。
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