空间立体几何专题三。
例1．如图，在三棱锥p－abc中，pa＝pb＝ab＝2，bc＝3，∠abc＝90°，平面pab⊥平面abc，d、e分别为ab、ac中点．
1）求证：de∥平面pbc；
2）求证：ab⊥pe；
3）求二面角a－pb－e的大小．
思路**：中点找中点，中点连成中位线。线线关系要通过线面关系转化。二面角一般都用空间坐标求解，此题还要先找坐标系。
试题解答：解：（1）d、e分别为ab、ac中点，de∥bc ．de平面pbc，bc平面pbc，de∥平面pbc 3分。
2）连结pd， pa=pb， pd ⊥ ab． de∥bc，bc ⊥ ab， de ⊥ ab．又ab⊥平面pde，pe平面pde， ab⊥pe ． 7分。
3）平面pab平面abc,平面pab平面abc=ab，pd ab，pd平面abc8分。
如图，以d为原点建立空间直角坐标系b(1,0,0)，p(0,0,)，e(0, ,0) ,1,0, )0, ,
设平面pbe的法向量，
令， 得．de⊥平面pab，平面pab的法向量为．
设二面角的a－pb－e大小为。
由图知，，，二面角的a－pb－e的大小为．14分。
反思与启迪：
立体几何中的线、面位置关系的证明，务必要抓住使用定理的条件，每一个都要写到位，缺一不可。
例2. 如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，点e在棱cc1的延长线上，且cc1=c1e=bc=ab=1.
1)求证：d1e∥平面acb1;
2)求证：平面d1b1e⊥平面dcb1;
3)求四面体d1b1ac的体积。
思路**：面面关系也要通过线面关系转化。用割补求体积。
试题解答：解：(1)连接bc1，四边形ab1ed1是平行四边形，则d1e∥ab1，又ab1平面acb1，d1e平面acb1，d1e∥平面acb1.
2)由已知得b1c2+b1e2=4=ce2,则b1e⊥b1c,由长方体的特征可知：cd⊥平面b1bce,而b1e平面b1bce，则cd⊥b1e,且cd∩b1c=c,b1e⊥平面dcb1，又b1e平面d1b1e，平面d1b1e⊥平面dcb1.
3)四面体d1b1ac的体积。
反思与启迪：
求体积，看准顶点，要找对底面，正确使用面积、体积公式。等体积法是一个实用快捷的方法。不要忘记它，记住它，它会帮助你！
例3. 如图所示，四棱柱abcd－a1b1c1d1的底面abcd是平行四边形，且ab＝1，bc＝2，abc＝60°，e为bc的中点，aa1⊥平面abcd.
1)证明：平面a1ae⊥平面a1de；
2)若de＝a1e，试求异面直线ae与a1d所成角的余弦值；
3)在(2)的条件下，试求二面角c－a1d－e的余弦值．
思路**：若图形中有明显直接可建立的空间坐标系，最好开始就建系解题。空间坐标系法在求角、求距离等方面有极大优越性。
试题解答：解：以a为原点，过a且垂直于bc的直线为x轴，ad所在直线为y轴，aa1所在直线为z轴建立空间。
直角坐标系．设aa1＝a(a>0)，则a(0，0，0)，d(0，2，0)，a1(0，0，a)，e(，，0).(2分)
1)证明：设平面a1ae的一个法向量为n1＝(m，n，p)，则得p＝0，取m＝1，则n＝－，从而n1＝(1，－，0)．
同理可得平面a1de的一个法向量为n2＝(，1，).
直接计算知n1·n2＝0，所以平面a1ae⊥平面a1de.(5分)
(2)由de＝a1e，得＝，解得a＝，所以＝，，0，＝(0，2，－)
所以异面直线ae与a1d所成角θ的余弦值为cos θ＝9分)
3)由(2)可知a1a＝，平面a1de的一个法向量为n2＝(，1，)．
又＝－，0，＝(0，2，－)设平面ca1d的法向量n3＝(x，y，z)，则取x＝1，得n3＝(1，，)12分)
设二面角c－a1d－e的平面角为φ，且φ为锐角，则cos φ＝cos〈n2，n3〉|＝所以二面角c－a1d－e的余弦值为。(14分)
反思与启迪：
建系要标明，坐标要正确，向量要求对，角度先观察，力争保满分。
例4．如图，在直三棱柱中，，，分别是、、的中点。
1）求异面直线与所成角的正切值的大小；
2）求点到平面之间的距离。
思路**：线线角一般要平移在平面内，解三角形求出。点到面的距离可用等体积法或用法向量求出。
试题解答：解：（1）设的中点为，连接，则，且，所以或其补角即为异面直线与所成的角3分。
连接me，在中5分。
所以异面直线与所成的角的正切值为6分。
以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则：
……8分。
设平面的一个法向量为。
则。所以平面的一个法向量为。 …10分。
又，所以点到平面的距离12分。
反思与启迪：
法向量正确求出是求解的关键。
例5．如图，在四棱锥s － abcd中，底面abcd是直角梯形，侧棱sa⊥底面abcd，ab垂直于ad和bc，sa =ab=bc =2，ad =1．m是棱sb的中点．
1）求证：am∥面scd；
2）求面scd与面sab所成二面角的余弦值；
3）设点n是直线cd上的动点，mn与面sab所成的角为，求sin的最大值，思路**：
1）可作辅助线，利用线面平行判定定理证明，（2）（3）建系求解。
试题解答：5．解：（ⅰ以点a为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，.
则。设平面scd的法向量是则。
即。令，则，于是。
am∥平面scd4分）
ⅱ）易知平面sab的法向量为。设平面scd与平面sab所成的二面角为，则，即。
平面scd与平面sab所成二面角的余弦值为8分）
ⅲ）设，则。
又，面sab的法向量为，所以，.
当，即时12分）
反思与启迪：
以ad=x为变量建立sin的函数关系求解，此类解法要足够重视。
例6.如图，在梯形abcd中，ab∥cd，ad=dc=cb=1，∠abc=60°,四边形acfe为矩形，平面acfe⊥平面abcd，cf=1.
(1)求证：bc⊥平面acfe；
2)点m**段ef上运动，设平面mab与平面fcb所成二面角的平面角为θ(θ90°),试求cos θ的取值范围。
思路**：（1）数量关系较多，要通过计算证来明。（2）建立目标的函数关系式求解。
试题解答：解：(1)在梯形abcd中，∵ab∥cd，ad=dc=cb=1，∠abc=60°,∴ab=2，ac2=ab2+bc2-2ab·bc·cos 60°=3,∴ab2=ac2+bc2,∴bc⊥ac.
平面acfe⊥平面abcd，平面acfe∩平面abcd=ac，bc平面abcd，bc⊥平面acfe.
2)由(1)可建立分别以直线ca，cb，cf为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令fm=λ(0≤λ≤则c(0，0，0)，a(0，0)，b(0，1，0)，m(λ，0，1)，=1，1)，设n1=(x,y,z)为平面mab的一个法向量，由得。
取x=1,则。
n2=(1,0,0)是平面fcb的一个法向量，又∵θ≤90°，=
0≤λ≤当λ=0时，cos θ有最小值。
当λ=时，cos θ有最大值∴cos θ∈
反思与启迪：
探索问题，建立函数关系是主要方法，注意自变量的选取和范围。
空间立体几何专题三(教师版)
例1．如图，在三棱锥p－abc中，pa＝pb＝ab＝2，bc＝3，∠abc＝90°，平面pab⊥平面abc，d、e分别为ab、ac中点．
1）求证：de∥平面pbc；
2）求证：ab⊥pe；
3）求二面角a－pb－e的大小．
思路**：中点找中点，中点连成中位线。线线关系要通过线面关系转化。二面角一般都用空间坐标求解，此题还要先找坐标系。
试题解答：解：（1）d、e分别为ab、ac中点，de∥bc ．de平面pbc，bc平面pbc，de∥平面pbc 3分。
2）连结pd， pa=pb， pd ⊥ ab． de∥bc，bc ⊥ ab， de ⊥ ab．又ab⊥平面pde，pe平面pde， ab⊥pe ． 7分。
3）平面pab平面abc,平面pab平面abc=ab，pd ab，pd平面abc8分。
如图，以d为原点建立空间直角坐标系b(1,0,0)，p(0,0,)，e(0, ,0) ,1,0, )0, ,
设平面pbe的法向量，
令， 得．de⊥平面pab，平面pab的法向量为．
设二面角的a－pb－e大小为。
由图知，，，二面角的a－pb－e的大小为．14分。
反思与启迪：
立体几何中的线、面位置关系的证明，务必要抓住使用定理的条件，每一个都要写到位，缺一不可。
例2. 如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，点e在棱cc1的延长线上，且cc1=c1e=bc=ab=1.
1)求证：d1e∥平面acb1;
2)求证：平面d1b1e⊥平面dcb1;
3)求四面体d1b1ac的体积。
思路**：面面关系也要通过线面关系转化。用割补求体积。
试题解答：解：(1)连接bc1，四边形ab1ed1是平行四边形，则d1e∥ab1，又ab1平面acb1，d1e平面acb1，d1e∥平面acb1.
2)由已知得b1c2+b1e2=4=ce2,则b1e⊥b1c,由长方体的特征可知：cd⊥平面b1bce,而b1e平面b1bce，则cd⊥b1e,且cd∩b1c=c,b1e⊥平面dcb1，又b1e平面d1b1e，平面d1b1e⊥平面dcb1.
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