数学。g单元立体几何
g1 空间几何体的结构
20．、、2014·安徽卷] 如图15，四棱柱abcd a1b1c1d1中，a1a⊥底面abcd，四边形abcd为梯形，ad∥bc，且ad＝2bc.过a1，c，d三点的平面记为α，bb1与α的交点为q.
图151)证明：q为bb1的中点；
2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
3)若aa1＝4，cd＝2，梯形abcd的面积为6，求平面α与底面abcd所成二面角的大小．
20．解： (1)证明：因为bq∥aa1，bc∥ad，bc∩bq＝b，ad∩aa1＝a，所以平面qbc∥平面a1ad，从而平面a1cd与这两个平面的交线相互平行，即qc∥a1d.
故△qbc与△a1ad的对应边相互平行，于是△qbc∽△a1ad，所以＝＝＝即q为bb1的中点．
2)如图1所示，连接qa，qd.设aa1＝h，梯形abcd 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为v上和v下，bc＝a，则ad＝2a.
图1v三棱锥q a1ad＝×·2a·h·d＝ahd，v四棱锥q abcd＝··d·＝ahd，所以v下＝v三棱锥q a1ad＋v四棱锥q abcd＝ahd.
又v四棱柱a1b1c1d1 abcd＝ahd，所以v上＝v四棱柱a1b1c1d1 abcd－v下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.
3)方法一：如图1所示，在△adc中，作ae⊥dc，垂足为e，连接a1e.
又de⊥aa1，且aa1∩ae＝a，所以de⊥平面aea1，所以de⊥a1e.
所以∠aea1为平面α与底面abcd所成二面角的平面角．
因为bc∥ad，ad＝2bc，所以s△adc＝2s△bca.
又因为梯形abcd的面积为6，dc＝2，所以s△adc＝4，ae＝4.
于是tan∠aea1＝＝1，∠aea1＝.
故平面α与底面abcd所成二面角的大小为。
方法二：如图2所示，以d为原点，da，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．
设∠cda＝θ，bc＝a，则ad＝2a.
因为s四边形abcd＝·2sin θ＝6，所以a＝.
图2从而可得c(2cos θ，2sin θ，0)，a1，所以dc＝(2cos θ，2sin θ，0)，＝
设平面a1dc的法向量n＝(x，y，1)，由。
得。所以n＝(－sin θ，cos θ，1)．
又因为平面abcd的法向量m＝(0，0，1)，所以cos〈n，m〉＝＝故平面α与底面abcd所成二面角的大小为。
8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积v的近似公式v≈l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.
那么，近似公式v≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
a. b. c. d.
8．b 7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为( )
a．8－2π b．8－π c．8－ d．8－
图117．b
g2 空间几何体的三视图和直观图。
7．[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的表面积为( )
a．21＋ b．8＋
c．21 d．18
图127．a
2．[2014·福建卷] 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
a．圆柱 b．圆锥 c．四面体 d．三棱柱。
2．a 5．[2014·湖北卷] 在如图11所示的空间直角坐标系o xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图11a．①和② b．①和③ c．③和② d．④和②
5．d 7．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
图12a．1 b．2 c．3 d．4
7．b5．[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图11所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
图11a b c d
图125．b
7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为( )
a．8－2π b．8－π c．8－ d．8－
图117．b
3．[2014·浙江卷] 几何体的三视图(单位：cm)如图11所示，则此几何体的表面积是( )
图11a．90 cm2 b．129 cm2 c．132 cm2 d．138 cm2
3．d12．[2014·新课标全国卷ⅰ] 如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
图13a．6 b．6 c．4 d．4
12．b 6．[2014·新课标全国卷ⅱ] 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
图11a. b. c. d.
6．c17．[2014·陕西卷] 四面体abcd及其三视图如图14所示，过棱ab的中点e作平行于ad，bc的平面分别交四面体的棱bd，dc，ca于点f，g，h.
1)证明：四边形efgh是矩形；
2)求直线ab与平面efgh夹角θ的正弦值．
图1417．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，bd⊥dc，bd⊥ad，ad⊥dc，bd＝dc＝2，ad＝1.
由题设，bc∥平面efgh，平面efgh∩平面bdc＝fg，平面efgh∩平面abc＝eh，bc∥fg，bc∥eh，∴fg∥eh.
同理ef∥ad，hg∥ad，∴ef∥hg.
四边形efgh是平行四边形．
又∵ad⊥dc，ad⊥bd，∴ad⊥平面bdc，ad⊥bc，∴ef⊥fg，四边形efgh是矩形．
2)方法一：如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系，则d(0，0，0)，a(0，0，1)，b(2，0，0)，c(0，2，0)，da＝(0，0，1)，bc＝(－2，2，0)，ba＝(－2，0，1)．
设平面efgh的法向量n＝(x，y，z)，ef∥ad，fg∥bc，n·da＝0，n·bc＝0，得取n＝(1，1，0)，sin θ＝cos〈，n〉|＝
方法二：如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系，则d(0，0，0)，a(0，0，1)，b(2，0，0)，c(0，2，0)，e是ab的中点，∴f，g分别为bd，dc的中点，得e，f(1，0，0)，g(0，1，0)．
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