1.已知m、n是两条不重合的直线，α、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若；②若；
③若；若m、n是异面直线，
其中真命题是（ ）
a．①和② b．①和③ c．③和④ d．①和④
答案：d2. 如图，o是半径为l的球心，点a、b、c在球面上，oa、ob、oc两两垂直，e、f分别是大圆弧ab与ac的中点，则点e、f在该球面上的球面距离是 (
a) (b) (c) (d)
答案：b3．在北纬圈上有甲、已两地，甲地位于东径，乙地位于西径，则地球（半径为r）表面上甲、乙两地的最短距离为（ ）
（abcd）
答案：d4．如图， 在直三棱柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，ab=5，aa1＝4，点d是ab的中点，
i）求证：ac⊥bc1；
）求证：ac 1//平面cdb1；
ⅲ）求异面直线cd,a c1所成的角。
ⅳ）ac1与平面ab b1a1所成的角。
(ⅴ)求二面角b1—cd—b的大小。
ⅵ） 求点c到平面abc1的距离。
解法一：（）直三棱柱abc－a1b1c1，底面三边长ac=3，bc=4，ab=5， ac⊥bc，且bc1在平面abc内的射影为bc，∴ ac⊥bc1；
）设cb1与c1b的交点为e，连结de，∵ d是ab的中点，e是bc1的中点，∴ de//ac1，∵ de平面cdb1，ac1平面cdb1，∴ ac1//平面cdb1；
解法二：∵直三棱柱abc－a1b1c1底面三边长ac＝3，bc＝4，ab＝5，∴ac、bc、c1c两两垂直，如图，以c为坐标原点，直线ca、cb、c1c分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则c（0,0，0），a（3,0，0），c1（0,0，4），b（0,4，0），b1（0,4，4），d（，2,0）
）∵＝3,0，0），＝0，－4,0），∴0，∴ac⊥bc1.
）设cb1与c1b的交战为e，则e（0,2，2）.∵0,2），＝3,0，4），∴de∥ac1.
5.如图，边长为2的等边△pcd所在的平面垂直于矩形abcd
所在的平面，bc＝，m为bc的中点。
ⅰ)证明：am⊥pm；
ⅱ)求二面角p－am－d的大小；
ⅲ)求点d到平面amp的距离。
解法1：(ⅰ取cd的中点e，连结pe、em、ea
△pcd为正三角形。
pe⊥cd，pe=pdsin∠pde=2sin60°=
平面pcd⊥平面abcd
pe⊥平面abcd3分。
四边形abcd是矩形。
△ade、△ecm、△abm均为直角三角形。
由勾股定理可求得。
em=，am=，ae=3
∠ame=90°
am⊥pm(ⅱ)由(ⅰ)可知em⊥am，pm⊥am
∠pme是二面角p－am－d的平面角。
tan ∠pme=
∠pme=45°
二面角p－am－d为45
ⅲ)设d点到平面pam的距离为，连结dm，则。
而。在中，由勾股定理可求得pm=.
所以：,.即点d到平面pam的距离为。
解法2：(ⅰ四边形abcd是矩形。
bc⊥cd平面pcd⊥平面abcd
bc⊥平面pcd
而pc平面pcd
bc⊥pc同理ad⊥pd
在rt△pcm中，pm=
同理可求pa=，am=
∠pma=90°
即pm⊥am
ⅱ)取cd的中点e，连结pe、em
△pcd为正三角形。
pe⊥cd，pe=pdsin∠pde=2sin60°=
平面pcd⊥平面abcd
pe⊥平面abcd
由(ⅰ)可知pm⊥am
em⊥am∠pme是二面角p－am－d的平面角。
sin ∠pme=
∠pme=45°
二面角p－am－d为45
ⅲ)同解法。
解法3：(ⅰ以d点为原点，分别以直线da、dc为。
x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得。
即，∴am⊥pm.
(ⅱ)设，且平面pam，则。
即。取，得。
取，显然平面abcd
结合图形可知，二面角p－am－d为45°；
ⅲ) 设点d到平面pam的距离为，由(ⅱ)可知与平面pam垂直，则。
即点d到平面pam的距离为。
6. 如图，直二面角d-ab-e中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae=eb，f为ce上的点，且bf⊥平面ace.
ⅰ)求证：ae⊥平面bce；
)求二面角b-ac-e的大小；
ⅲ)求点d到平面ace的距离。
解法一：(ⅰ证明：∵bf⊥平面ace，∴bf⊥ae.
二面角dabe为直二面角，且cb⊥ab，∴cb⊥平面abe.
cb⊥ae.
ae⊥平面bce.
)连结bd交ac于g，连结fg，
正方形abcd边长为2， ∴bg⊥ac,bg=.
bf⊥平面ace，
由三垂线定理的逆定理得fg⊥ac,
∠bgf是二面角b-ac-e的平面角。
由(ⅰ)ae⊥平面bce，
又∵ae=eb, ∴在等腰直角三角形aeb中，be=.
又∵直角△bce中，,bf=,
直角△bfg中，sin∠bgf=. 二面角b-ac-e等于arcsin.
ⅲ) 过点e作eo⊥ab交ab于点o，oe=1.
二面角d-ab-e为直二面角，
eo⊥平面abcd.
设d到平面ace的距离为h,
vd—ace=ve—acd , s△acb ?h=s△acd ?eo.
ae⊥平面bce，∴ae⊥ec. ∴h=.
点d到平面ace的距离为。
解法二：(ⅰ同解法一。
) 以线段ab的中点为原点o，oe所在直线为x轴，ab所在直线为y轴，过o点且平行于ad的直线为z轴，建立空间直角坐标系o—xyz,如图。
ae⊥面bce，be面bce，
ae⊥be.
在rt△aeb中，ab=2，o为ab的中点，∴oe=1.
a(0,-1,0),e(1,0,0),c(0,1,2).
设平面aec的一个法向量为n=(x,y,z),
则即解得。令x=1,得n=(1,-1,1)是平面aec的一个法向量。
又平面bac的一个法向量为m=(1,0,0),
cos〈m,n〉=.二面角b-ac-e的大小为arccos.
ⅲ) ad∥z轴，ad=2， ∴0,0,2). 点d到平面ace的距离
d=||cos〈,n〉|=
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