时间：120分钟满分：150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
1．下列命题正确的是( )
a．三点确定一个平面。
b．经过一条直线和一个点确定一个平面。
c．四边形确定一个平面。
d．两条相交直线确定一个平面。
2．如图7－1，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是( )
图7－13．正方体abcd－a′b′c′d′中，ab的中点为m，dd′的中点为n，异面直线b′m与cn所成的角是( )
a．0° b．45° c．60° d．90°
4．如图7－2，在四面体abcd中，截面pqmn是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
图7－2a．ac⊥bd
b．ac∥截面pqmn
c．ac＝bd
d．异面直线pm与bd所成的角为45°
5．下列命题中，错误的是( )
a．平行于同一条直线的两个平面平行。
b．平行于同一个平面的两个平面平行。
c．一个平面与两个平行平面相交，交线平行。
d．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。
6．a，b是异面直线，下面四个命题：
过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面分别与a，b都平行．
其中正确的命题个数为( )
a．1 b．2 c．3 d．4
7．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为( )
a．3 b．6 c．9 d．18
8．直线a∥平面α，p∈α，那么过点p且平行于a的直线( )
a．只有一条，不在平面α内。
b．有无数条，不一定在α内。
c．只有一条，且在平面α内。
d．有无数条，一定在α内。
9．如图7－3，四棱锥s－abcd的底面为正方形，sd⊥底面abcd，则下列结论中不正确的是( )
图7－3a．ac⊥sb
b．ab∥平面scd
c．sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角。
d．ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角。
10．如图7－4.某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )
图7－4a．6 b．9 c．12 d．18
二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分．
11．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为。
12．若一个圆锥的主视图(如图7－5)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是。
图7－513．设x，y，z是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x//y”为真命题的是把你认为正确的结论的代号都填上)．
x为直线，y，z为平面；
x，y，z为平面；
x，y为直线，z为平面；
x，y为平面，z为直线；
x，y，z为直线．
14.如图7－6，半径为4的球o中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是___
图7－6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(12分)如图7－7，已知pa⊥⊙o所在平面，ab为⊙o直径，c是圆周上任一点，过a作ae⊥pc于e，求证：ae⊥平面pbc.
图7－716．(13分)如图7－8，已知pa⊥平面abcd，abcd为矩形，pa＝ad，m，n分别是ab，pc的中点．
求证：(1)mn∥平面pad；
2)平面pmc⊥平面pdc.
图7－817．(13分)如图7－9，正三棱柱abc－a1b1c1的底面边长为a，点m在边bc上，△amc1是以点m为直角顶点的等腰直角三角形．
1)求证：点m为边bc的中点；
2)求点c到平面amc1的距离．
图7－918．(14分)如图7－10，在圆锥po中，已知po＝，⊙o的直径ab＝2，点c在上，且∠cab＝30°，d为ac的中点．
1)证明：ac⊥平面pod；
2)求直线oc和平面pac所成角的正弦值．
图7－1019．(14分)如图7－11，平行四边形abcd中，∠dab＝60°，ab＝2，ad＝4，将△cbd沿bd折起到△ebd的位置，使平面edb⊥平面abd.
1)求证：ab⊥de；
2)求三棱锥e－abd的侧面积．
图7－1120．(14分)如图7－12，在四棱锥p－abcd中，abcd是矩形，pa⊥平面abcd，pa＝ad＝1，ab＝，点f是pd的中点，点e在cd上移动．
1)求三棱锥e－pab的体积；
2)当点e为cd的中点时，试判断ef与平面pac的关系，并说明理由；
3)求证：pe⊥af.
图7－12答题卡。
1．d15．证明：∵pa⊥⊙o所在平面，bc⊙o所在平面，pa⊥为⊙o直径，∴ac⊥bc.
又pa∩ac＝a，∴bc⊥平面pac.
又ae平面pac，∴bc⊥ae.
ae⊥pc，pc∩bc＝c，ae⊥平面pbc.
16．证明：(1)取pd的中点为q，连接aq，qn，pn＝nc，∴qn綊dc.
四边形abcd为矩形，∴qn綊am.
四边形aqnm为平行四边形．
mn∥aq.又∵aq平面pad，mn∥平面pad.
2)∵pa⊥平面abcd，∴∠pad＝90°.
pa＝ad，∴△pad为等腰直角三角形．
q为pd中点，∴aq⊥pd.
cd⊥ad，cd⊥pa，∴cd⊥平面pad，cd⊥aq，∴aq⊥平面pdc.
由(1)mn∥aq，∴mn⊥平面pdc.
又∵mn平面pmc，平面pmc⊥平面pdc.
17．(1)证明：∵cc1⊥平面abc，am平面abc，cc1⊥am.
又∵c1m⊥am，cc1∩c1m＝c1，am⊥平面bb1c1c.∴am⊥bc.
△abc为正三角形，∴m为bc的中点．
2)解：平面amc1⊥平面bb1c1c.
作cd⊥c1m，垂足为d，显然cd⊥平面amc1.
则cd为点c到平面amc1的距离．
在rt△cmc1中，cm＝，c1m＝am＝a，∴cc1＝a.
cd＝＝.18．(1)证明：因为oa＝oc，d是ac的中点，所以ac⊥od.
又po⊥底面⊙o，ac底面⊙o，所以ac⊥po.
因为pood＝0，所以ac⊥平面pod.
2)解：由(1)知，ac⊥平面pod，又ac平面pac，所以平面pod⊥平面pac.在平面pod中，过o作oh⊥pd于h，则oh⊥平面pac.
连接ch，则ch是oc在平面pac上的射影．
所以∠och是直线oc和平面pac所成的角．
在rt△pod中，oh＝＝＝
在rt△ohc中，sin∠och＝＝.
19．(1)证明：在△abd中，∵ab＝2，ad＝4，∠dab＝60°，bd＝＝2.
ab2＋bd2＝ad2，∴ab⊥de.
又∵平面ebd⊥平面abd，平面ebd∩平面abd＝bd，ab平面abd，ab⊥平面ebd.
又de平面ebd，∴ab⊥de.
2)解：由(1)知ab⊥bd，cd∥ab，∴cd⊥bd，从而de⊥db.
在rt△dbe中，∵db＝2，de＝dc＝ab＝2，s△dbe＝db·de＝2.
ab⊥平面ebd，be平面ebd，∴ab⊥be.
be＝bc＝ad＝4，∴s△abe＝ab·be＝4.
de⊥bd，平面ebd⊥平面abd，而ad平面abd，∴ed⊥ad.∴s△ade＝ad·de＝4.
综上，三棱锥e－abd的侧面积s＝8＋2.
20．解：(1)∵pa⊥平面abcd，∴ve－pab＝vp－abe
s△abe·pa＝××1××1＝.
2)解：当点e为bc的中点时，ef∥平面pac.
理由如下：∵点e，f分别为cd，pd的中点，∴ef∥pc.
pc平面pac，ef平面pac，∴ef∥平面pac.
3)证明：∵pa⊥平面abcd，cd平面abcd，∴cd⊥pa.
abcd是矩矩形，∴cd⊥ad.
pa∩ad＝a，∴cd⊥平面pad.
af平面pad，∴af⊥dc.
pa＝ad，点f是pd的中点，∴af⊥pd.
又cd∩pd＝d，∴af⊥平面pdc
pe平面pdc∴pe⊥af.
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