05限时规范特训。
1．[2014·泰安模拟]设m、n表示不同直线，α、表示不同平面，则下列结论中正确的是( )
a．若m∥α，m∥n，则n∥α
b．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β
c．若α∥βm∥α，m∥n，则n∥β
d．若α∥βm∥α，n∥m，nβ，则n∥β
解析：a选项不正确，n还有可能在平面α内，b选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，c选项不正确，n也有可能在平面β内，选项d正确．
答案：d2．[2014·蚌埠模拟]设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
a．m∥β且l1∥α b．m∥l1且n∥l2
c．m∥β且n∥β d．m∥β且n∥l2
解析：对于选项a，不合题意；对于选项b，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选b；对于选项c，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项d，由n∥l2可转化为n∥β，同选项c，故不符合题意，综上选b.
答案：b3．[2014·南开模拟]下列命题正确的是( )
a．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行。
b．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。
c．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行。
d．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行。
解析：若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以a错；一个平面内不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故b错；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以垂直，故d错；故选项c正确．
答案：c4．[2014·海口模拟]在空间四边形abcd中，e、f分别为ab、ad上的点，且ae∶eb＝af∶fd＝1∶4，又h、g分别为bc、cd的中点，则( )
a．bd∥平面efg，且四边形efgh是平行四边形。
b．ef∥平面bcd，且四边形efgh是梯形。
c．hg∥平面abd，且四边形efgh是平行四边形。
d．eh∥平面adc，且四边形efgh是梯形。
解析：如图，由题意，ef∥bd，且ef＝且hg＝bd.
ef∥hg，且ef≠hg.
四边形efgh是梯形．
又ef∥平面bcd，而eh与平面adc不平行．故选b.
答案：b5．如图中四个正方体图形，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab∥平面mnp的图形的序号是( )
a．①③b．①④
c．②③d．②④
解析：图①中，设pn中点为q，连mq，则ab∥mq，所以ab∥平面mnp，图②，图③中，ab与平面mnp相交，图④中，ab∥np，所以ab∥平面mnp.故应选b.
答案：b6．过三棱柱abc－a1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有___条．
解析：过三棱柱abc－a1b1c1的任意两条棱的中点作直线，记ac，bc，a1c1，b1c1的中点分别为e，f，e1，f1，则直线ef，e1f1，ee1，ff1，e1f，ef1均与平面abb1a1平行，故符合题意的直线共6条．
答案：67．设l，m，n表示不同的直线，α，表示不同的平面，给出下列四个命题：
若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；若m∥l，且m∥α，则l∥α；若α∩βl，β∩m，γ∩n，则l∥m∥n；④若α∩βm，β∩l，γ∩n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是___
解析：①正确；②中，当直线lα时，不成立；③中，l，m，n还有可能相交于一点，不成立；④正确．所以正确的命题有2个．
答案：28．对于平面m与平面n，有下列条件：①m，n都垂直于平面q；②m、n都平行于平面q；③m内不共线的三点到n的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥m，m∥n；⑤l，m是异面直线，且l∥m，m∥m；l∥n，m∥n，则可判定平面m与平面n平行的条件是___填正确结论的序号)．
解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定m∥n.
答案：②⑤9．[2014·佳木斯模拟]如图，在正四棱柱abcd－a1b1c1d1中，e，f，g，h分别是棱cc1，c1d1，d1d、dc的中点，n是bc的中点，点m在四边形efgh及其内部运动，则m满足条件___时，有mn∥平面b1bdd1.
解析：由题意hn∥面b1bdd1，fh∥面b1bdd1，面nhf∥面b1bdd1.
当m**段hf上运动时，有mn∥面b1bdd1.
答案：m∈fh
10．如图，正方体abcd－a1b1c1d1中，侧面对角线ab1，bc1上分别有两点e，f，且b1e＝c1f.求证：ef∥平面abcd.
证明：方法一：过e作em⊥ab于m，过f作fn⊥bc于n，连接mn，如图所示，则em∥bb1，fn∥bb1，em∥fn.
ab1＝bc1，b1e＝c1f，ae＝bf，＝，
又∵bb1＝cc1，∴em＝fn，四边形emnf是平行四边形，ef∥mn.
又∵ef平面abcd，mn平面abcd，ef∥平面abcd.
方法二：过点e作eh⊥bb1于点h，连接fh，如图所示，则eh∥ab，所以＝.
ab1＝bc1，b1e＝c1f，＝，fh∥b1c1.
b1c1∥bc，∴fh∥bc.
eh∩fh＝h，平面efh∥平面abcd.
ef平面efh，ef∥平面abcd.
11．如图所示，已知abcd－a1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，g是bb1上，且ae＝fc1＝b1g＝1，h是b1c的中点．
1)求证：e、b、f、d1四点共面；
2)求证：平面a1gh∥平面bed1f.
证明：(1)连接fg.
ae＝b1g＝1，bg＝a1e＝2，bg綊a1e，a1g∥be.
又∵c1f綊b1g，四边形c1fgb1是平行四边形．
fg綊c1b1綊d1a1，四边形a1gfd1是平行四边形．
a1g綊d1f，∴d1f綊eb，故e、b、f、d1四点共面．
2)∵h是b1c1的中点，∴b1h＝.
又b1g＝1，＝.
又＝，且∠fcb＝∠gb1h＝90°.
△b1hg∽△cbf，∠b1gh＝∠cfb＝∠fbg.
hg∥fb.
又由(1)知，a1g∥be，且hg∩a1g＝g，fb∩be＝b，平面a1gh∥平面bed1f.
12．[2014·东北三校联考]如图，在正三棱柱abc－a1b1c1中，点d为棱ab的中点，bc＝1，aa1＝.
1)求证：bc1∥平面a1cd；
2)求三棱锥d－a1b1c的体积。
解：(1)证明：连接ac1交a1c于点o，连接od.
在acc1a中，o为ac1的中点，d为ab的中点，∴od∥bc1，又bc1平面a1cd，od平面a1cd，∴bc1∥平面a1cd.
2)在正三角形abc中，d为ab的中点，则cd⊥ab，又∵平面abc⊥平面abb1a1，cd⊥平面abb1a1，cd为三棱锥d－a1b1c的高，1．[2014·广元模拟]已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；存在一个平面存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α；存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是( )
a．①③b．②④
c．①④d．②③
解析：对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β所以②③是错误的，易知①④正确，故选c.
答案：c2．在正方体abcd－a1b1c1d1中，点m，n分别**段ab1，bc1上，且am＝bn.以下结论：
①aa1⊥mn；②a1c1∥mn；③mn∥平面a1b1c1d1；④mn与a1c1异面，其中有可能成立的个数为( )
a．4 b．3
c．2 d．1
解析：取特殊值，使m，n分别为线段ab1，bc1上的中点，取b1b的中点为e，连接ne，em，则ne∥b1c1，me∥a1b1，又ne∩me＝e，b1c1∩a1b1＝b1，故平面mne∥平面a1b1c1d1，③对；又a1a⊥平面a1b1c1d1，故a1a⊥平面mne，①对；连接a1b，∵m是a1b的中点，m在a1b上，mn是△a1c1b的中位线，mn∥a1c1，②对；当n与b重合，m与a重合，此时mn与a1c1异面，④对．
答案：a3．[2014·资阳模拟]直三棱柱abc－a′b′c′，∠bac＝90°，ab＝ac＝，aa′＝1，点m，n分别为a′b和b′c′的中点．
1)证明：mn∥平面a′acc′；
2)求三棱锥a′－mnc的体积．(锥体体积公式v＝sh，其中s为底面面积，h为高)
解：(1)证法一：连接ab′，ac′，由已知∠bac＝90°，ab＝ac，三棱柱abc－a′b′c′为直三棱柱，所以m为ab′中点．又因为n为b′c′的中点，所以mn∥ac′.
又mn平面a′acc′，ac′平面a′acc′，因此mn∥平面a′acc′.
证法二：取a′b′中点p，连接mp，np.
而m，n分别为ab′与b′c′的中点，所以mp∥aa′，pn∥a′c′，所以mp∥平面a′acc′，pn∥平面a′acc′.
又mp∩np＝p，因此平面mpn∥平面a′acc′.
而mn平面mpn，因此mn∥平面a′acc′.
2)解法一：连接bn，由题意a′n⊥b′c′，平面a′b′c′∩平面b′bcc′＝b′c′，所以a′n⊥平面nbc.
又a′n＝b′c′＝1，故va′－mnc＝vn－a′mc＝vn－a′bc＝va′－nbc＝.
解法二：va′－mnc＝va′－nbc－vm－nbc＝va′－nbc＝.
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