立。体。几。
何。讲义。
章节分析：目录：
一、柱锥台球的结构特征。
二、空间几何体直观图。
三、空间几何体三视图。
四、培养空间想象能力的训练。
五、夹角距离的求解（理科）
柱锥台球的结构特征。
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的学科，直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算是认识和探索几何图形及其性质的主要方法。在学习中联系实际从图形入手，加强由模型到图像，再由图像到模型的基本训练，有序的建立图形、文字、符号这三种语言的联系，能由一种语言转释成另外两种语言，逐步达到融会贯通的程度。对几何体、概念、公式及时加以总结归纳，找到它们之间的内在联系，发现它们的差异，深化对概念的认识和理解。
一、柱锥台球的结构特征。
练习：1）将直角三角形绕它的一边旋转一周， 形成的几何体一定是（ ）
a．圆锥 b．圆柱 c．圆台 d．上均不正确。
2）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（ ）
a．圆锥 b．圆柱 c． 球体 d． 以上都可能。
3）下左一图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm）,计算它的体积为 cm3.
二、典型例题分析。
例1：（几何体的侧面展开图）
如上左二图，长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从到点，沿着表面爬行的最短距离是多少．
练习：1）如上右二图， 四面体p-abc中， pa=pb=pc=2, apb=bpc=apc=300. 一只蚂蚁。
从a点出发沿四面体的表面绕一周， 再回到a点， 问蚂蚁经过的最短路程是。
2）边长为5cm的正方形efgh是圆柱的轴截面， 则从e点沿圆柱的侧面到相对顶点g的最短距离是。
3）正四面体的棱长为，则相对棱所成角为距离为 ；相邻两个面所成角的余弦值为 ；侧棱与底面所成角的余弦值为 ；它的表面积为 ；高为 ；体积为 ；外接球半径为 ；内切球半径为 。
4）半径为的半圆纸片卷成圆锥放在桌子上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面为 （
例2.证明等边圆柱（轴截面为正方形）的内切球的体积是圆柱体积的且球的表面积等于圆柱的侧面积。
练习。已知圆台上下底面的半径分别为、，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长。
例3.如图（上右一）一倒置的等边圆锥（轴截面为正三角形）为底面直径，装满水后，放一半径为的铁球，有水溢出。若该球的最高点恰与圆锥底面的圆心重合，球心在上，取出球后，剩余的水是原来的几分之几？
例4. 有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为。
练习。1）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）
a． b． c． d．
2）棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 （
空间几何体直观图。
直观图：（表示空间图形的平面图）.
观察者站在某一点观察几何体，画出的图形。把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形；
练习：1）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是。
2）判断：水平放置的正方形的直观图可能是等腰梯形。
两条相交的线段的直观图可能是平行线段。
两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直。
平行四边形的直观图仍为平行四边形。
长度相等的两线段直观图仍然相等。
3）三角形是边长为正三角形，求其直观图三角形的面积。
练习：三角形的直观图为边长为正三角形，求三角形的面积。
4）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长和面积。
(5)如上右图，用斜二测画法作abc水平放置的直观图形得a1b1c1，其中a1b1=b1c1，a1d1是b1c1边上的中线，由图形可知在abc中，下列四个结论中正确的是（ ）
a．ab=bc=ac b． adbc c． ac>ad>ab>bc d． ac>ad>ab=bc
空间几何体三视图。
a.三视图与物体的方位关系：
主视图反映了物体的上、下和左、右位置关系；俯视图反映了物体的前、后和左、右位置关系；侧视图反映了物体的上、下和前、后位置关系。
b.三视图之间的投影关系：
三个视图之间的投影关系为：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等。
练习：1）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（ ）
a．球和圆柱 b．球 c．正方体和圆柱 d．球和正方体。
3) 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）
a． b． c． d．
4）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下左图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）
a．与 b．与 c．与 d．与
5) 一个物体由几块相同的正方体叠成，它的正视图、侧视图、俯视图从左到右分别如上右图所示，请回答下列问题：
1） 该物体共有几层？
2） 最高部分位于哪个位置？（在三视图中把相应正方体涂黑以标记）
3） 一共需要多少个小正方体？
例题：1. 一空间几何体的三视图如下右图所示，则该几何体的体积为( )
a. bc. d.
2、上中图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是。
a.9π b.10π c.11π d．12π
3、 若一个正三棱柱的体积为，其三视图如上左图所示，则这个正三棱柱的侧视图的面积为___
练习：1）一个几何体的三视图如下左图，根据图中数据，可得该几何体的体积和表面积分别为：
2）一个几何体的三视图如上中图，根据图中数据，则该几何体的侧视图的面积为：
表面积为：
3）一个几何体的三视图如上右二图所示，则该几何体的体积为（ ）
4）一个几何体的三视图如上右一图所示，(其中俯视图为正三角形)根据图中数据求该几何体的正视图和俯视图的面积分别为：
培养空间想象能力的训练。
01)任何几何体的三视图都与该几何体的摆放位置有关。
02)一个圆锥与一个上底面圆半径和圆锥底面圆半径相等的圆台一定组成一个圆锥。
03)任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥。
04)圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径。
05)三角形和平行四边形的直观图还是三角形和平行四边形。
06)多面体至少要有4个面。
07)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体为棱锥。
08)以直角三角形的一边为轴旋转得到的几何体为圆锥。
09)两两相交的三条直线可以确定平面的个数为1或4.
空间不共线的四点，可以确定平面的个数为。
10)异面直线是分别位于两个不同平面内的直线。
11)已知为异面直线分别在平面内，且，则至少与中的一条相交。
12)已知为异面直线，直线与平行，则的位置关系可以是
13)若，则∥.
14)已知直线分别在两相交平面内，则两直线的位置关系可能是
15)直线与平面斜交，则在平面内不存在直线与垂直。
16)与同一平面平行的两直线的位置关系可能为
17)过平面外一点可以作这个平面的平行线条，平行面个。
过直线外一点可以作这条直线的平行线条，平行面个。
过平面外一直线可以作与这个平面平行的平面个。
过平面外一直线可以作与这个平面垂直的平面个。
18)已知为异面直线，则过直线与平行的平面有个。
19)若∥,直线，则直线的关系是
20)若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则直线与平面平行。
若一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则两平面平行。
21)一个面内有无数条直线与另一个面平行，则面面平行。
一条直线与一个面内的无数条直线垂直，则线面垂直。
22)平行于同一直线的两直线平行。 垂直于同一直线的两直线平行。
平行于同一直线的两平面平行。 垂直于同一平面的两直线平行。
平行于同一平面的两直线平行。 垂直于同一直线的两平面平行。
平行于同一平面的两平面平行。 垂直于同一平面的两平面平行。
23)空间不重合的三平面可以把空间分成部分，正方体六个面所在平面把空间分成部分。
立体几何讲义
立体几何专题。圆柱圆锥等规则立体图形。圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长。由此可得。2 rl，其中l是圆柱侧面的母线长，r是底面半径 下左图 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如右上图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得，其中l是圆锥侧面的母线，c是圆锥...
立体几何复习讲义
知识梳理 一。平面。1 点 线 面的关系 能用集合的数学符号来表示 2 平面的基本性质 公理1作用 证明直线在平面内的依据。公理2作用 判定两平面相交 确定交线的依据。公理3推论1推论2 推论3公理3及推论的作用 确定平面的依据 证明平面重合的依据。二。空间直线和直线的位置关系。1.相交 平行 重合...
立体几何讲义2答案
1 本小题满分12分 如图，为矩形，为梯形，平面平面，若为中点，求证 平面 求平面与所成锐二面角的余弦值。1 本小题满分12分 证明 连结，交与，连结，中，分别为两腰的中。点2分。因为面，又面，所以平面 4分。设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，...