立体几何。
典型例题】题型。
一、线面平行。
例1、（2012山东）如图，几何体e-abcd是四棱锥，△abd为正三角形，cb=cd，ec⊥bd．
ⅰ）求证：be=de；
ⅱ）若∠bcd=120°，m为线段ae的中点，求证：dm∥平面bec
变式1：（2013枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面befc水平放置．
1）求证：ae∥平面dcf；
变式2：（2013潍坊一模）如图，四边形abcd中，ab⊥ad，ad∥bc，ad=6，bc=4，ab=2，点e、f分别在bc、ad上，ef∥ab．现将四边形abef沿ef折起，使平面abcd⊥平面efdc，设ad中点为p．
i ）当e为bc中点时，求证：cp∥平面abef
ⅱ）设be=x，问当x为何值时，三棱锥a-cdf的体积有最大值？并求出这个最大值．
例2、（2010湖南）如图所示，在正方体abcd-a1b1c1d1中，e是棱dd1的中点．
ⅰ）求直线be与平面abb1a1所成的角的正弦值；
ⅱ）在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f∥平面a1be？证明你的结论．
变式：（2013广州三模）如图，在等腰梯形pdcb中，pb∥cd，pb=3，dc=1，pd=bc=，a为pb边上一点，且pa=1，将△pad沿ad折起，使平面pad⊥平面abcd．
1）求证：平面pad⊥平面pcd．
2）**段pb上是否存在一点m，使截面amc把几何体分成的两部分的体积之比为vpdcma：v m-acb=2：1，若存在，确定点m的位置；若不存在，说明理由．
3）在（2）的条件下，判断am是否平行于平面pcd．
练习1、（2013宁德模拟）如图所示的多面体a1add1bcc1中，底面abcd为正方形，aa1∥bb1∥cc1，aa12ab=2aa1=cc1=dd1=4，且aa1⊥底面abcd．
ⅰ）求证：a1b∥平面cdd1c1；
ⅱ）求多面体a1add1bcc1的体积v．
2、（2013聊城一模）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd是平行四边形，∠acb=90°，平面pad⊥平面abcd，pa=bc=1，pd=ab=，e、f分别为线段pd和bc的中点。
i）求证：ce∥平面paf；
ⅱ）求三棱锥p-aef的体积．
题型。二、线面垂直。
例3、（2011辽宁）如图，四边形abcd为正方形，qa⊥平面abcd，pd∥qa，oa=ab=.
ⅰ）证明pq⊥平面dcq；
ⅱ）求棱锥q-abcd的体积与棱锥p-dcq的体积的比值．
变式：如图，p为△abc所在平面外一点，ap=ac，bp=bc，d为pc中点，直线pc与平面abd垂直吗？为什么？
例4、（2012福建）如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=ad=1，aa1=2，m为棱dd1上的一点．
1）求三棱锥a-mcc1的体积；
2）当a1m+mc取得最小值时，求证：b1m⊥平面mac．
变式1：（2009北京）如图，四棱锥p-abcd的底面是正方形，pd⊥底面abcd，点e在棱pb上．
1）求证：平面aec⊥平面pdb；
2）当pd＝ab且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小．
变式2：（2011惠州模拟）如图，己知△bcd中，∠bcd=90°，bc=cd=1，ab⊥平面bcd，∠adb二60°，e、f分别是ac、ad上的动点，且。
1）求证：不论λ为何值，总有ef⊥平面abc：(2)若，求三棱锥的体积。
练习1、（2009广州模拟）如图，在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中，e是cd的中点．
i）求证：a1c∥平面ad1e；
ii）在对角线a1c上是否存在点p，使得dp⊥平面ad1e？若存在，求出cp的长；若不存在，请说明理由．
2、如图是长方体abcd-a1b1c1d1被一个平面截去一部分后得到的几何体abcd-a1efd1，其中ef∥bc，且ab=2aa1=2a1d1=2a1e．
1）求异面直线ce与db所成的角；
2）若在棱cd上存在点g，满足af⊥平面d1eg，试确定点g的位置．
3、（2013浙江）如图，在四棱锥p-abcd中，pa⊥面abcd，ab=bc=2，ad=cd=，pa=，∠abc=120°，g为线段pc上的点．
ⅰ）证明：bd⊥平面pac；
ⅱ）若g是pc的中点，求dg与pac所成的角的正切值；
ⅲ）若g满足pc⊥面bgd，求的值．
题型。三、面面平行。
例5、（2013陕西）如图，四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o⊥平面abcd，ab=aa1=．
ⅰ） 证明：平面a1bd∥平面cd1b1；
ⅱ） 求三棱柱abd-a1b1d1的体积．
变式1：（2013湛江二模）三棱柱abc-a1b1c1中，aa1⊥平面abc，ab=bc=ac=aa1，cd⊥ac1，e、f分别是bb1、cc1中点．
1）证明：平面def∥平面abc；
2）证明：cd⊥平面aec1．
变式2：如图，正方体abcd-a1b1c1d1中，m，n，e，f分别是棱a1b1，a1d1，b1c1，c1d1的中点．
1）求证：直线mn∥平面efdb；
2）求证：平面amn∥平面efdb．
例6、（2013海淀区二模）如图1，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠adc=90°，ba=bc 把△bac沿ac折起到△pac的位置，使得点p在平面adc上的正投影o恰好落**段ac上，如图2所示，点e，f分别为线段pc，cd的中点．
i） 求证：平面oef∥平面apd；
ii）求直线cd⊥与平面pof
iii）在棱pc上是否存在一点m，使得m到点p，o，c，f四点的距离相等？请说明理由．
变式：如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，o为底面abcd的中心，p是dd1的中点，设q是cc1上的点，问：当点q在什么位置时，平面d1bq∥平面pao？
练习1、如图，棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd为菱形，平面aa1c1c⊥平面abcd．
1）证明：bd⊥aa1；
2）证明：平面ab1c∥平面da1c1
3）在直线cc1上是否存在点p，使bp∥平面da1c1？若存在，求出点p的位置；若不存在，说明理由．
2、如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，ab⊥bc，bc⊥bc1，ab=bc1，e，f分别为线段ac1，a1c1的中点．
1）求证：ef∥面bcc1b1；
2）求证：be⊥面ab1c1；
3）**段bc1上是否存在一点g，使平面efg∥平面abb1a1，证明你的结论．
题型。四、面面垂直。
例7、（2012黑龙江）如图，三棱柱abc-a1b1c1中，侧棱垂直底面，∠acb=90°，ac=bc=，d是棱aa1的中点．
i） 证明：平面bdc1⊥平面bdc
ⅱ）平面bdc1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
变式1：（2009湖南）如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，ab=4，aa1，点d是bc的中点，点e在ac上，且de⊥a1e．
1）证明：平面a1de⊥平面acc1a1；
2）求直线ad和平面a1de所成角的正弦值．
例8、（2011陕西）如图，在△abc中，∠abc=60°，∠bac=90°，ad是高，沿ad把△abd折起，使∠bdc=90°．
ⅰ）证明：平面adb⊥平面bdc；
ⅱ）设e为bc的中点，求与夹角的余弦值。
变式1：（2013宜宾二模）如图1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d、e分别是ac、ab上的点，且de∥bc，将△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1d⊥cd，如图2．
ⅰ）求证：平面a1bc⊥平面a1dc；
ⅱ）若cd=2，求be与平面a1bc所成角的余弦值；
ⅲ）当d点在何处时，a1b的长度最小，并求出最小值．
变式2：（2013日照二模）如图是一直三棱柱（侧棱cd⊥底面abc）被削去上底后的直观图与三视图的侧（左）视图、俯视图，在直观图中，m是bd的中点，n是bc的重点，侧（左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（ⅰ求该几何体的体积；（ⅱ求证：an∥平面cem；（ⅲ求证：
平面bde⊥平面bcd．
练习1、（2010沈阳一模）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．
ⅰ）求出该几何体的体积；
ⅱ）d是棱a1c1上的一点，若使直线bc1∥平面ab1d，试确定点d的位置，并证明你的结论；
ⅲ）在（ⅱ）成立的条件下，求证：平面ab1d⊥平面aa1d．
2、（2011浙江模拟）如图所示，ad⊥平面abc，ce⊥平面abc，ac=ad=ab=1，bc＝，凸多面体abced的体积为。f为bc的中点．
ⅰ）求证：af∥平面bde；
ⅱ）求证：平面bde⊥平面bce．
题型。五、二倍角。
例9、如图，立体图形v－abc的四个面是全等的正三角形，画出二面角v－ab－c的平面角并求出它的度数。
变式1：在三棱锥p-abc中， apb=bpc=cpa=600，求二面角a-pb-c的余弦值。
变式2：正方体abcd-a1b1c1d1中，求二面角a-bd-c1的大小为。
变式3：如图5，在椎体中，是便常委边长为1的棱形，且， 分别是的中点。（1） 证明：；（2）求二面角的余弦值。
练习1、如图，在正方体abcd－a1b1c1d1中，找出二面角b－ac－b1的平面角并求出它的度数。
2、边长为a的菱形abcd ，∠acb=600，现沿对角线bd将其折成才600的二面角，则a、c之间的距离为 。（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）
3、正三棱柱abc—a1b1c1的底面边长是4，过bc的一个平面与aa1交于d，若ad=3，求二面角d―bc―a的正切值。
例10、如图，在三棱锥p-abc中，pa⊥平面abc，pa=ab，ac=bc=1，∠acb=900，m是pb的中点。(1)求证：bc⊥pc，(2)平面mac与平面abc所成的二面角的正切。
变式1：如图，已知△abc中，ab⊥bc，s为平面abc外的一点，sa⊥平面abc，am⊥sb于m，an⊥sc于n,(1)求证平面sab⊥平面sbc (2)求证∠anm是二面角a－sc－b的平面角。
3 立体几何大题综合训练
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