18．（本小题满分14分）右图是一个直三棱柱（以a1b1c1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为abc．已知a1b1＝b1c1＝l，∠a1b1c1＝90°，aa1＝4，bb1＝2，cc1＝3.
i）设点o是ab的中点，证明：oc∥平面a1b1c1；
ii）求此几何体的体积．
18．（1）证明：作交于，连．
则2分。是的中点， ．
则是平行四边形， ．4分。
平面且平面，面6分。
2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于．……2分。
面， ，则平面． …4分。
又，， 6分。
所求几何体体积为： …8分。
16. (本小题满分12分)
如图，直三棱柱abc—a1b1c1的底面是等腰直角三角形（侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱），a1c1b1=90°，a1c1=1，aa1=，d是线段a1b1的中点．（1）证明：面⊥平面a1b1ba2）证明：；
3）求棱柱abc—a1b1c1被平面分成两部分的体积比。
16. 证明：（1）
2）连结，6分。
7分。3）棱柱abc—a1b1c1被平面分成两部分分别是。
三棱锥和三棱台，9分。
11分 即棱柱abc—a1b1c1被平面分成两部分的体积比为1：5
17．（本小题共14分）
已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点。
ⅰ) 求四棱锥的体积；
ⅱ) 若是的中点，求证∥平面。
ⅲ) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论．
17解：(ⅰ由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且分，即四棱锥的体积为5分。
ⅱ) 连结、，
是正方形，是的中点，且是的中点。
9分。ⅲ)不论点在何位置，都有10分。
证明如下：∵是正方形。
底面，且平面，∴.
又∵，∴平面。
不论点在何位置，都有平面。
不论点在何位置，都有14分。
17、（本题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。
1) 求四棱锥的体积；（2）求证：；（3）求截面的面积。
17、（本题满分14分）
1）解：由，得底面直角梯形的面积。
由底面，得四棱锥的高，所以四棱锥的体积4分。
2）证明：因为是的中点，， 所以。 …5分。
由底面，得6分。
又，即，平面，所以， …8分。
平面， 10分。
3）由分别为的中点，得，且，又，故，由（2）得平面，又平面，故，四边形是直角梯形，在中，截面的面积。 …14分。
19.（本小题满分14分）
如图6，在直角梯形abcp
中，ap//bc，apab，ab=bc=，d是ap的。
中点，e，f，g分别为pc、pd、
cb的中点，将沿cd折起，使得平面abcd,如图7.
(ⅰ)求证：;
ⅱ）求证：ap//平面efg；
ⅲ）求三棱椎的体积。
19.（本小题满分14分）
ⅰ)证明：由已知底面abcd是正方形。
又∵面abcd
…2分。又……3分。
平面pcd. …4分。
ⅱ)方法一)连ac,bd交于o点，连go,fo,eo.
……5分。e,f分别为pc,pd的中点， ,同理，.
四边形efog是平行四边形，平面efog. …7分。
又在三角形pac中，e,o分别为pc,ac的中点， pa//eo……8分。
平面efog,pa平面efog, pa//平面efog,即pa//平面efg. …10分。
方法二) ∵e,f分别为pc,pd的中点， ,同理。
又，……6分。
平面efg//平面pab, …8分。
又pa平面pab,平面efg. …10分。
ⅲ) 14分。
18．(本小题满分14分)
1) 如图1, 在三棱锥中， 分别是和的重心， 求证： ．
2) 如图2, 在三棱锥的侧棱上分别取三点， 使， ,过三点作截面将棱锥分成上．下两部分， 求这两部分的体积比．
18．解： (1) 连结， 延长交于； 连结， 延长交于， 连结1)
分别是和的重心，
且分别是的中点5)
由公理4知7)
2) 解10)
设点到平面的距离为， 点到平面的距离为．
故三棱锥被分成的两部分的体积比为14)
19．（本小题满分12分）
如图：已知四棱柱abcd—a1b1c1d1的底面是正方形，o1、o分别是上、下底面的中心，a1o⊥平面abcd.
（1）求证：平面o1dc⊥平面abcd；
（2）若点e在棱aa1上，且ae=2ea1，问在棱bc上是否存在点f，使得。
ef⊥bc？若存在，求出其位置；若。
不存在，说明理由。
19．证明：（1）连结ac、bd、a1c1则ac、bd的交点，o1为。
a1c1中点。
四边形acc1a1为平行四边形，四边形a1o1co为平行四边形………2分。
a1o//co1
a1o⊥平面abcd
o1c⊥平面abcd4分。
o1c平面o1dc
存在点平面o1dc⊥平面abcd………5分。
2）f为bc的三等分点b（靠近b）时，有ef⊥bc………6分。
过点e作eh⊥ac于h，连fh、ef//a1o
平面a1ao⊥平面abcd
eh⊥平面abcd
又bc平面abcd ∴bc⊥eh ①
hf//ab ∴hf⊥bc， ②
由①②知，bc⊥平面efh
ef平面efh ∴ef⊥bc12分。
17. （本小题满分14分）
如图所示几何体中，平面pac⊥平面，，pa = pc,，，若该几何体左视图（侧视图）的面积为．
1）求证：pa⊥bc；
2）画出该几何体的主视图并求其面积s；
3）求出多面体的体积v．
17．解析：（1），bc=2，，，又∵平面pac⊥平面，平面pac∩平面=ac,bc⊥平面pac3分。
又∵pa平面pac
pa⊥bc………4分。
2）该几何体的主视图如下：
6分。pa = pc，取ac的中点d，连接pd，则pd⊥ac，又平面pac⊥平面，则pd⊥平面abc，∴几何体左视图的面积===pd=，并易知是边长为1的正三角形，∴主视图的面积是上、下底边长分别为1和2，pd的长为高的直角梯形的面积，s9分。
3）取pc的中点n，连接an，由是边长为1的正三角形，可知an⊥pc，由（1）bc⊥平面pac，可知an⊥bc，∴an⊥平面pcbm，an是四棱锥a—pcbm的高且an11分。
由bc⊥平面pac，可知bc⊥pc，可知四边形pcbm是上、下底边长分别为1和2，pc的长1 为高的直角梯形，其面积………13分。
………14分。
19．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，abcd是矩形， 点是的中点，点在上移动。
求三棱锥体积；
当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；
求证：．19.（本小题满分14分）
解：（1），4分。
2）当点为的中点时，。
理由如下：点分别为、pd的中点，。9分。
点是的中点，又 ，
14分。18．(本小题满分14分)
如图6，已知四棱锥中，⊥平面，是直角梯形，， 90，．
1）求证：⊥；
2）**段上是否存在一点，使//平面，
若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由。
18．(本小题满分14分)
解：（1）∵⊥平面， 平面，
2分 ⊥， 平面4分。
平面，6分。
2）法1: 取线段的中点，的中点，连结，则是△中位线。
8分，.
立体几何大题
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