立体几何。
1．【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）
如图，长方体中，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
答案】（ⅰ详见解析；（ⅱ
考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相关点，先求出面的法向量，利用求直线与平面所成角的正弦值．
2．【2015江苏高考，16】（本题满分14分）
如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；
答案】（1）详见解析（2）详见解析。
解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形，因此点为的中点，从而由三角形中位线性又因为，平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
因为，所以矩形是正方形，因此．
因为，平面，，所以平面．
又因为平面，所以．
考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理。
名师点晴】不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线， 常利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行。 证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．
3．【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于f.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求二面角余弦值。
答案】（ⅰ解析】
试题分析：（ⅰ证明：依据正方形的性质可知，且，，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理知。
（ⅱ因为四边形，，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量。由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取。同理的法向量。
所以结合图形知二面角的余弦值为。
试题解析：（ⅰ证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又。设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得。所以结合图形知二面角的余弦值为。
考点定位】1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解。
名师点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解。此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在。
4．【2015江苏高考，22】（本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯
形，（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）点q是线段bp上的动点，当直线cq与dp所成角最小时，求线段bq的长。
答案】（1）（2）
解析】试题分析：（1）求二面角，关键求出两个平面的法向量，本题中平面法向量已知，故关键求平面的法向量，利用向量垂直关系可列出平面的法向量两个独立条件，再根据向量数量积求二面角余弦值（2）先建立直线cq与dp所成角的函数关系式：设，则，再利用导数求其最值，确定点q坐标，最后利用向量模求线段bq的长学优高考网。
试题解析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，，，
1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．
因为，．设平面的法向量为，则，，即．
令，解得，．
所以是平面的一个法向量．
从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
2）因为，设（），考点定位】空间向量、二面角、异面直线所成角。
名师点晴】1．求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos θ＝cos〈a，b〉|.2．求直线l与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sin θ＝cos〈n，a〉|.3．求二面角α l β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
5．【2015高考福建，理17】如图，在几何体abcde中，四边形abcd是矩形，ab平面bec，beec，ab=be=ec=2，g，f分别是线段be，dc的中点。
ⅰ)求证：平面。
ⅱ)求平面aef与平面bec所成锐二面角的余弦值．
答案】(ⅰ详见解析；(ⅱ
解析】解法一：（ⅰ如图，取的中点，连接，，又g是be的中点，，学优高考网。
又f是cd中点，，由四边形abcd是矩形得，，所以．从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以．
ⅱ)如图，在平面bec内，过点b作，因为．
又因为ab平面bec，所以abbe，abbq
以b为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则a(0,0,2)，b(0,0,0)，e(2,0,0)，f(2,2,1)．因为ab平面bec，所以为平面bec的法向量，设为平面aef的法向量。又。
由取得。从而。
所以平面aef与平面bec所成锐二面角的余弦值为．
解法二：(ⅰ如图，取中点，连接，，又是的中点，可知，又。
ⅱ）同解法一．
考点定位】1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角．
名师点睛】本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法，直线和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化；利用坐标法求二面角，主要是空间直角坐标系的建立要恰当，便于用坐标表示相关点，求出半平面法向量夹角后，要观察二面角是锐角还是钝角，正确写出二面角的余弦值．
6．【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱-中，，，在底面的射影为的中点，为的中点。
1）证明： d平面；
2）求二面角-bd-的平面角的余弦值。
答案】（1）详见解析；（2）.
试题分析：（1）根据条件首先证得平面，再证明，即可得证；（2）
作，且，可证明为二面角的平面角，再由。
余弦定理即可求得，从而求解。
试题解析：（1）设为的中点，由题意得平面，∴，故平面，由，分别，的中点，得且。
从而，∴四边形为平行四边形，故，又∵
平面，∴平面；（2）作，且，连结，由，，得，由，得，由，得，因此为二面角。
的平面角，由，，，得，由余弦定理得，.
考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解。
名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以及二面角的求解，属于中档题，在解题时，应观察。
各个直线与平面之间的位置关系，结合线面垂直的判定即可求解，在求二面角时，可以利用图形中的位置。
关系，求得二面角的平面角，从而求解，在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识，例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注。
7．【2015高考山东，理17】如图，在三棱台中，分别为的中点。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）若平面， ，求平面与平面所成的角（锐角）的大小。
答案】（i）详见解析；（ii）
解析】试题分析：（i）思路一：连接，设，连接，先证明，从而由直线与平面平行的判定定理得平面；思路二：先证明平面平面，再由平面与平面平行的定义得到平面。
ii）思路一：连接，设，连接，证明两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作于点，作于点，连接，证明即为所求的角，然后在三角形中求解。
试题解析：(i)证法一：连接，设，连接，在三棱台中，为的中点。
可得学优高考网。
所以四边形为平行四边形。
则为的中点。
又为的中点。
所以 又平面平面。
所以平面．证法二：
在三棱台中，由为的中点。
因为平面 所以平面
ii）解法一：
设，则 在三棱台中，为的中点。
由，可得四边形为平行四边形，因此
又平面 所以平面
在中，由，是中点，所以
因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
所以 可得
故 设是平面的一个法向量，则学优高考网。
由可得 可得平面的一个法向量。
因为是平面的一个法向量，
所以 所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为
解法二：作于点，作于点，连接
由平面，得
又 所以平面
因此。所以即为所求的角。
所以平面与平面所成角（锐角）的大小为。
考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用。
名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性。
8．【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱， ,且点m和n分别为的中点。
i)求证：平面；
ii)求二面角的正弦值；
iii)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长。
答案】(i)见解析； (ii)；
解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得。学优高考网。
i)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，
由此可得，，又因为直线平面，所以平面。
ii)，设为平面的法向量，则。
即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得。
不妨设，可得。
考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用。
名师点睛】本题主要考查直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用。将立体几何向量化，体现向量工具的应用，即把几何的证明与计算问题转化为纯代数的计算问题，是向量的最大优势，把空间一些难以想象的问题转化成计算问题，有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题。
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