99．（本小题满分13分）四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为的中点．已知，1）求证：平面平面；
2）求三棱锥的体积；
3）求二面角的大小．
答案】（1）见解析；（2）；（3）．
解析】试题分析：（1）本题要证平面scb⊥平面abcd ,就要证so⊥平面为中点易得so⊥bc .连结，则，而， ．
从而得证。2）由（1）知，，，
3）取ac的中点f，连结sf、of．则of||ab,易得为二面角的平面角．
在中，，，二面角的大小为．
试题解析： （1）证明：连结，分别为的中点， ，
2）解：，，
3）解：取ac的中点f，连结sf、of．，．
分别为bc，ac的中点，，，即为二面角的平面角．
在中，，，二面角的大小为．
考点：空间线面垂直与面面垂直、空间几何体的体积、二面角的求法。
100．（满分12分）如图，在长方体中，，，为的中点。
1）求异面直线与所成的角的正切值。
2）求证：平面平面。
3）求三棱锥的体积。
答案】（1）；（2）见解析；（3）
解析】试题分析：（1）取dd1中点n，连接mn，na1.可证是异面直线与所成的角或其补角，在三角形中由勾股定理易证，所以；（2）由平面可知，在三角形中由勾股定理可证，因此平面，从而平面平面；（3） 由（2）知 =.
试题解析：（1）取dd1中点n，连接mn，na1.
因为，且，所以。所以是异面直线与所成的角或其补角 ，因为，所以，所以。
2）因为平面，平面，所以，因为，，所以，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面。
3） 设三棱锥的体积为，则。
考点：1.空间角的大小；2.面面垂直的证明；3.空间几何体的体积计算。
101．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别为的中点．
1）求证：平面；
2）求平面和平面的夹角。
答案】证明见解析。
解析】试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算。其中灵活建系是解题的关键。
（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值；（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化。同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备。
试题解析：（1）如图，以为原点，以为方向向量。
建立空间直角坐标系。则。
设平面的法向量为。即令。则。
又平面平面。
2）底面是正方形，又平面。
又，平面。向量是平面的一个法向量，又由（1）知平面的法向量。
二面角的平面角为。
考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题。
102．如图，直三棱柱中，d，e分别是ab，的中点。
1）证明：；
2）设，求三棱锥的体积。
答案】（1）详见解析；（2）
解析】试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的直线平行，本题连接交于点，易证是的中位线，，由三角形的中位线定理易证，进而证明；（2）求四面体体积，难点在于求高，若不易求，则可考虑等体积转化，本题，易证面，则的高，再求底面的面积，进而求体积．
试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，又d是ab的中点，连接df，则2分。
因为平面a1cd，平面a1cd4分。
所以bc1∥平面a1cd5分。
2）因为abc-a1b1c1是直三棱柱，所以aa1⊥平面abc,因为cd平面abc， 所以aa1⊥cd， 6分。
由已知ac=cb，d为ab的中点，所以cd⊥ab，7分。
又aa1∩ab=a，于是cd⊥平面abb1a1， 8分。
由aa1=ac=cb=2，ab=得。
acb=90°，cd=，a1d=，de=，a1e=3，故a1d2+de2=a1e2，de⊥a1d，所以12分。
考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、四面体的体积．
103．己知四棱锥p-abcd，其中底面abcd为矩形侧棱pa底面abcd，其中bc=2,ab=2pa=6，m,n为侧棱pc上的两个三等分点，如图所示：
1）求证：an∥平面mbd；
2）求二面角b-pc-a的余弦值．
答案】（1）详见解析；（2）
解析】试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的直线平行，本题连结ac交bd于o，连结om，由三角形的中位线定理易证om//an，进而证明an∥平面mbd；（2）求二面角大小，根据已知条件寻找或作出两两垂直的三条直线为轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点，求两个半平面的法向量并求其夹角的余弦值，二面角的余弦值与法向量夹角余弦值相等或为相反数，再由图中二面角是锐角还是钝角确定其正负．
试题解析：（1）证明：连结ac交bd于o，连结om，底面abcd为矩形，∴o为ac中点，∵m、n为侧棱pc的三等份点，∴cm=cn，om//an， ∵om平面mbd，an平面mbd，∴an//平面mbd 4分．
2）易知为等腰直角三角形，所以bp为外接圆的直径，所以pb=,pa=3
如图所示，以a为原点，建立空间直角坐标系a-xyz，则a(0,0,0)，b(3,0,0)，c(3,6,0)，d(0,6,0)，p(0,0,3)，m(2,4,1)，n(1,2,2),设平面的法向量为，，并且，令得，平面mbd的一个法向量为， 6分。
设平面法向量为，同理可得 8分。
10分。由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为。
考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、二面角．
104．（本题满分14分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面。
1）证明：；
2）若，求二面角的余弦值．
答案】（1）详见解析；（2）二面角a－pb－c的余弦值为。
解析】试题分析：（1）证明：，证明线线垂直，只需证明一条线垂直过另一条线的平面即可，注意到底面，即，因此可证平面，只需证明，由已知，，，由余弦定理得，即，故，可证（2）若，求二面角的余弦值，可用向量法，注意到da，db，dp三条直线两两垂直，故以d为坐标原点，射线da，db，dp分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系d－xyz，写出各点的坐标，分别求出平面pab与平面pbc的法向量，即可求出二面角的余弦值．
试题解析：（1）证明：因为，由余弦定理得。 （2分）
从而，故。 （3分）
面面， （4分）
又。所以平面5分）
故6分）2）如图，以d为坐标原点，射线da，db，dp分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系d－xyz， 则．
（8分）设平面pab的法向量为，[**：学科则，即。
因此可取10分）
设平面pbc的法向量为，则。
可取12分）
则，故钝二面角a－pb－c的余弦值为14分）
注：第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得4分，求出二面角的平面角的余弦值得4分。其它方法酌情给分。
考点：线面垂直的性质，二面角。
105．（本小题满分14分）如图，菱形的边长为，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.
1）求证：平面；
2）求三棱锥的体积。
答案】（1）详见解析；（2）.
解析】试题分析：（1）求证：平面，这是证明线面平行问题，证明线面平行，即证线线平行，可利用三角形的中位线，或平行四边形的对边平行，本题注意到是的中点，点是棱的中点，因此由三角形的中位线可得，，从而可得平面；（2）求三棱锥的体积，由已知，由题意，可得，从而得平面，即平面，因此把求三棱锥的体积，转化为求三棱锥的体积，因为高，求出的面积即可求出三棱锥的体积。
试题解析：（１证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点。又点是棱的中点，所以是的中位线，. 2分。
因为平面，平面， 4分。
所以平面6分。
２）三棱锥的体积等于三棱锥的体积7分。
由题意，因为，所以8分。
又因为菱形，所以9分。
因为，所以平面，即平面 10分。
所以为三棱锥的高11分。
的面积为， 13分。
所求体积等于14分。
考点：线面平行的判定，几何体的体积。
立体几何大题
1 如图，已知正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为，点e在侧棱上，点f在侧棱上，且，i 求证 ii 求二面角的大小。2 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，已知。证明 若为的中点，求三菱锥的体积。3 如图，四棱锥p abcd中，abc bad 90 bc 2ad，pab与 pad都是边长为2的等边三角...
立体几何大题
1 如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点 段上，平面 1 证明 平面 2 若，求二面角的正切值 2 如图5，在四棱锥p abcd中，pa 平面abcd，ab 4，bc 3，ad 5，dab abc 90 e是cd的中点。证明 cd 平面pae 若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abc...
立体几何大题
例1.如图所示，abcd是边长。为2a的正方形，pb 平面abcd，ma pb，且pb 2ma 2a，e是pd的中点 1 求证 me 平面abcd 2 求点b到平面pmd的距离 3 求平面pmd与平面。abcd所成二面角的余弦值。例2.在正三棱锥s abc中，底面是边长为a的正三角形，点o为 abc...