九州教育学校立体几何大题。
1． （本小题满分14分）
如图1，在rt△abc中，∠acb=30°，∠abc=90°，d为ac中点，于，延长ae交bc于f，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，如图2所示．
ⅰ）求证：ae⊥平面bcd；
ⅱ）求二面角a–dc –b的余弦值．
ⅲ）**段上是否存在点使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．
2．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，．
ⅰ）求证：；
ⅱ）求证：//平面；
ⅲ）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度．
3（本小题满分分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为，中点，．
i） 求证：平面；
ii）求二面角的余弦值；
iii）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
4．（本小题满分分）
如图，在三棱锥中，底面为的中点，为的中点，i）求证：面；
ii）求与平面所成角的正弦值。
iii）设点**段上，且平面，求实数的值．
1．（ⅰ因为平面平面，交线为，又在中，于，平面。
所以平面3分。
（ⅱ）由（ⅰ）结论平面可得．
由题意可知，又．
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系4分。
不妨设，则．
由图1条件计算得，则———5分。
由平面可知平面dcb的法向量6分。
设平面的法向量为，则。
即。令，则，所以8分。
平面dcb的法向量为。
所以，所以二面角的余弦值为9分。
ⅲ）设，其中．
由于，所以，其中10分。
所以11分由，即12分。
解得13分。
所以**段上存在点使，且．——14分。
2．（本小题满分14分）
ⅰ）证明：因为底面和侧面是矩形，所以 ，又因为 ，所以平面2分。
因为平面，所以4分。
ⅱ）证明：因为 ，所以四边形是平行四边形。
连接交于点，连接，则为的中点．
在中，因为，所以6分。
又因为平面，平面，所以平面8分。
ⅲ）解：由（ⅰ）可知，又因为 ，，
所以平面9分。
设g为ab的中点，以e为原点，eg，ec，所在直线分别为x轴，y轴，z轴。
如图建立空间直角坐标系，设，则．
设平面法向量为，因为 ，由得。
令，得11分。
设平面法向量为，因为 ，由得。
令，得12分。
由平面与平面所成的锐二面角的大小为，得13分。
解得14分。
3．（本小题满分14分）
证明：（ⅰ如图，连结．
因为底面是正方形，所以与互相平分．
又因为是中点，所以是中点．
在△中，是中点，是中点，所以∥．
又因为平面，平面，所以∥平面．……4分。
ⅱ）取中点．在△中，因为，所以．
因为面底面，且面面，所以面．
因为平面。所以．
又因为是中点，所以．
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系．
因为，所以，则，，，
于是，，．因为面，所以是平面的一个法向量．
设平面的一个法向量是．
因为所以即。
令则． 所以．
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．…10分。
ⅲ）假设在棱上存在一点，使面．设，则． 由（ⅱ）可知平面的一个法向量是．
因为面，所以．
于是，，即．
又因为点在棱上，所以与共线．
因为，所以．
所以，无解．
故在棱上不存在一点，使面成立14分。
4．（本小题满分14分）
ⅰ）证明：因为底面，底面，所以1分。
又因为 ，，
所以平面2分。
又因为平面，所以3分。
因为，是中点，所以，又因为 ，所以平面5分。
ⅱ）解：在平面中，过点作。
因为平面，所以平面，由底面，得，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系。
则，，，………6分。
设平面的法向量为，因为 ，由得
令，得8分。
设与平面成角为，因为，所以
即10分。ⅲ）解：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以12分。
因为平面，平面的法向量，所以，解得14分。
数学立体几何大题
1 本小题满分14分 如图1，在rt abc中，acb 30 abc 90 d为ac中点，于，延长ae交bc于f，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，如图2所示 求证 ae 平面bcd 求二面角a dc b的余弦值 段上是否存在点使得平面？若存在，请指明点的位置 若不存在，请说明理由 2 本...
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