证明平行常见的方法：
1） 直线平行平面的性质。
2） 向量法。
3） 构建平行四边形。
4） 中位线定理。
注意：中位线与构建平行四边形的结合。
5）平面平行的性质。
证明垂直常见的方法：
1） 直线垂直平面的性质。
2） 勾股定理。
3） 向量法。
4） 特殊的四边形（正方形、菱形等）
5） 射影定理：
第二问 文科：1
1、体积比**化为面积比或者高的比）
1．如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.
1）求证：平面；
2）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，求．
24．已知多面体abcdfe中， 四边形abcd为矩形，ab∥ef，af⊥bf，平面abef⊥平面abcd， o、m分别为ab、fc的中点，且ab = 2，ad = ef = 1.
1）求证：af⊥平面fbc；
2）求证：om∥平面daf；
3）设平面cbf将几何体efabcd分成的两个锥体的体积分别为vf-abcd，vf-cbe，求vf-abcd∶vf-cbe 的值。
如图，长方体abcd﹣a1b1c1d1中，ab=16，bc=10，aa1=8,点e，分别在a1b1, d1c1上，a1e= d1f=4.过点e,f的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
i） 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）
ii） 求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。
19．（12分）
如图，四面体abcd中，△abc是正三角形，ad=cd．
1）证明：ac⊥bd；
2）已知△acd是直角三角形，ab=bd．若e为棱bd上与d不重合的点，且ae⊥ec，求四面体abce与四面体acde的体积比．
2、点到平面的距离。
点到平面的距离公式：
转化为：体积/低面积=高。
4．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面。
1）证明：2）若，求三棱柱的高。
9．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点。
1）证明：平面；
2）设，，三棱锥的体积，求a到平面pbc的距离。
3、求体积。
1）底面积乘以高。
2）割体法。
5．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．
1）求证：平面；
2）求四棱锥的体积．
7．如图，在三棱锥中，底面，，且，点是的中点，且交于点。
1）求证：平面；
2）当时，求三棱锥的体积。
10．如图，在五面体中，已知平面，，，
1）求证：；
2）求三棱锥的体积．
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，e为pd的中点。
ⅰ）证明：pb∥平面aec；
ⅱ）设二面角d-ae-c为60°，ap=1，ad=，求三棱锥e-acd的体积。
19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，ad∥bc，ab=ad=ac=3，pa=bc=4，m为线段ad上一点，am=2md，n为pc的中点。
i）证明mn∥平面pab;
ii）求四面体n-bcm的体积。
23．如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且。
1）证明：平面；
2）若，求四棱锥的体积。
4、求二面角。
1）三点定角法。
2）投影面积法。
3）向量法。
理科。一、 据题意建系。
3．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是，d是ac的中点。
1）求证：平面；
2）求二面角的大小；
3）求直线与平面所成的角的正弦值。
6．(本小题满分12分)
如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
ⅰ）证明：;
ⅱ）若，,,求二面角的余弦值。
8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面 ，，是的中点，作交于点．
1）求证： 平面；
2）求二面角的正弦值．
14．如图，四边形abcd为菱形，∠abc=120°，e，f是平面abcd同一侧的两点，be⊥平面abcd，df⊥平面abcd，be=2df，ae⊥ec.
ⅰ）证明：平面aec⊥平面afc；
ⅱ）求直线ae与直线cf所成角的余弦值。
19．如图，四棱锥pabc中，pa⊥底面abcd，ad∥bc，ab=ad=ac=3，pa=bc=4，m为线段ad上一点，am=2md，n为pc的中点。
ⅰ）证明mn∥平面pab;
ⅱ）求直线an与平面pmn所成角的正弦值。
20．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点。
1）求证：；
2）求证： 平面；
3）求二面角的大小。
21．已知四棱锥，面，∥,为上一点， 是平面与的交点。
1）求证：∥；
2）求证：面；
3）求与面所成角的正弦值。
25．如图，直三棱柱中， ，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．
1）若∥平面，求；
2）求直线和平面所成角的余弦值．
如图，长方体abcd-a1b1c1d1中ab=16，bc=10，aa1=8，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1e=d1f=4，过点e，f的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
ⅱ）求直线af与平面所成角的正弦值。
17、（2017江苏）如图，在平行六面体abcd﹣a1b1c1d1中，aa1⊥平面abcd，且ab=ad=2，aa1= ，bad=120°．
ⅰ）求异面直线a1b与ac1所成角的余弦值；
ⅱ）求二面角b﹣a1d﹣a的正弦值．
21、（2017新课标ⅰ卷）如图，在四棱锥p﹣abcd中，ab∥cd，且∠bap=∠cdp=90°．（12分）
1)证明：平面pab⊥平面pad；
2)若pa=pd=ab=dc，∠apd=90°，求二面角a﹣pb﹣c的余弦值．
19、（2017新课标ⅱ）如图，四棱锥p﹣abcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，ab=bc= ad，∠bad=∠abc=90°，e是pd的中点．
ⅰ）证明：直线ce∥平面pab；
ⅱ）点m在棱pc 上，且直线bm与底面abcd所成角为45°，求二面角m﹣ab﹣d的余弦值．
2、自己建立坐标系。
二、 15、（2017浙江）如图，已知四棱锥p﹣abcd，△pad是以ad为斜边的等腰直角三角形，bc∥ad，cd⊥ad，pc=ad=2dc=2cb，e为pd的中点．
ⅰ）证明：ce∥平面pab；
ⅱ）求直线ce与平面pbc所成角的正弦值．
19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，ad∥bc，ab=ad=ac=3，pa=bc=4，m为线段ad上一点，am=2md，n为pc的中点。
i）证明mn∥平面pab;
ii）求直线an与平面pmn所成角的正弦值。
例8：在如图所示的多面体中，平面平面，，且，是中点。
1）求证：
2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。
解：过在平面上作的平行线。
平面 两两垂直。如图建系：
2）设平面的法向量为
设平面的法向量为。
设平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
则 例10：如图，在三棱柱，是正方形的中心，，平面，且。
1）求异面直线与所成角的余弦值。
2）求二面角的正弦值。
3）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长。
2、（2015，北京）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，∥为的中点。
1）求证：
2）求二面角的余弦值。
3）若平面，求的值。
3、定比分点应用（求未知常数）：
27．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.
ⅰ）求证：底面；
ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
ⅲ）**段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．
2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点，分别是，的中点。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）在棱上求作一点，使得，并说明理由。
立体几何初步 基础大题
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