课后作业：
1、如图正方体中，e、f分别为d1c1和b1c1的中点，p、q分别为a1c1与ef、ac与bd的交点，1）求证：d、b、f、e四点共面；
2）若a1c与面dbfe交于点r，求证：p、q、r三点共线。
提示：（1）证明四点共面，也就是证明什么？有什么公理或定理可用？
2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？
2．如图，空间四边形abcd中，e、f分别为bc、cd的中点，g、h分别为ab、ad上的点，且ag：gb≠ah：hd
证明：gh与ef为异面直线。
提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？
考虑：（1）如果直接证明，就必须证明gh和ef不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？
2）从（1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑——平行或相交
3．已知空间四边形abcd.
1)求证：对角线ac与bd是异面直线；
2)若ac⊥bd,e,f,g,h分别这四条边ab,bc,cd,da的中点，试判断四边形efgh的形状；
4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点p，aa，da，bb，ec求证：bd和ae是异面直线。
提示：反证法，假设共面。
5．空间四边形abcd，e、f分别是ab、bc的中点，求证：ef∥平面acd.
6．经过正方体abcd-a1b1c1d1的棱bb1作一平面交平面aa1d1d于e1e，求证：e1e∥b1b
7．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点。
（1）求证：平面；
（2）若，，
求异面直线与所成的角的大小。
8．如图，正方形与不在同一平面内，、分别在、上，且求证：平面。
9．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直。
分析：用反证法，假设这两条异面直线同时和一个平面垂直，由直线和平面垂直的性质定理，那麽这两条直线平行，此与条件矛盾因此两条异面直线不能同时和一个平面垂直。
10．地面上有两根相距c米的直立旗杆，它们的长分别是a米，b米（b>a），求它们上端间的距离。
分析：如图所示，abc为直角三角形。
11．平行四边形abcd所在平面外有一点p，且pa=pb=pc=pd，求证：点p与平行四边形对角线交点o的连线po垂直于ab、ad
12．如图，已知e，f分别是正方形abcd边ad，ab的中点，ef交ac于m，gc垂直于abcd所在平面．
1）求证：ef⊥平面gmc．
2）若ab＝4，gc＝2，求点b到平面efg的距离．
第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．
1．已知矩形abcd的边长ab＝6cm，bc＝4cm，在cd上截取ce＝4cm，以be为棱将矩形折起，使△bc′e的高c′f⊥平面abed，求：
1）点c′到平面abed的距离；
2）c′到边ab的距离；
3）c′到ad的距离．
2．如图，已知abcd是矩形，sa⊥平面abcd，e是sc上一点．
求证：be不可能垂直于平面scd．
参***：用到反证法。
3．在正方体abcd-a1b1c1d1中，求证：a1c⊥平面bc1d.
分析：a1c在上底面abcd的射影ac⊥bd,a1c在右侧面的射影d1c⊥c1d,所以a1c⊥bd, a1c⊥c1d,从而有a1c⊥平面bc1d.
4．如图，已知cd是异面直线ca、db的公垂线，ca于a，db于b，∩=ef．求证：cd∥ef．
5．如图，pa、pb、pc两两垂直，pa=pb=pc，g是△pab的重心，e是bc上的一点，且be=bc，f是pb上的一点，且pf=pb．求证：（1）gf平面pbc；（2）febc；
6．如图，已知abcd是矩形，ab=a，ad=b，pa平面abcd，pa=2c，q是pa的中点．
求（1）q到bd的距离；（2）p到平面bqd的距离．
1．如图，pa⊥△abc所在平面，ab＝ac＝13，bc＝10，pa＝5，求点p到直线bc的距离．
2．立体几何关于角度的重要结论，注意它应用。
如图，是平面α的斜线，斜足是o，a是上任意一点，ab是平面α的垂线，b是垂足，设od是平面α内与ob不同的一条直线，ac垂直于od于c，若直线与平面α所成的角θ＝45°，∠boc＝45°，求∠aoc的大小．
3、在正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f分别是aa1、a1d1的中点，求：
1）d1b1与面ac所成角的余弦值；
2）ef与面a1c1所成的角；
3）ef与面ac所成的角．
4 立体几何关于射影的重要结论，用于寻找射影。
如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
已知：∠bac在α内，p，peab于e，pfac于f且pe=pf，po
求证：o在∠bac的平分线上（即∠bao=∠cao）
证明：连接oe，of
po ∴eo，fo分别为pe，pf在上的射影。
pe=pf ∴oe=of
peab，pfac
oeab，ofac(三垂线定理的逆定理 )
o到∠bac两边距离相等∴o在∠bac的平分线上。
变式：已知：在平面内，点，垂足分别为，求证：．
证明：∵，三垂线定理逆定理）， 又∵，∴
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线。
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