一．解答题（共12小题）
1．如图1，在正方形abcd中，点，e，f分别是ab，bc的中点，bd与ef交于点h，点g，r分别**段dh，hb上，且．将△aed，△cfd，△bef分别沿de，df，ef折起，使点a，b，c重合于点p，如图2所示．
1）求证：gr⊥平面pef；
2）若正方形abcd的边长为4，求三棱锥p﹣def的内切球的半径．
2．如图，在四棱锥p﹣abcd中，pd⊥平面abcd，底面abcd是菱形，∠bad=60°，ab=2，pd=，o为ac与bd的交点，e为棱pb上一点．
ⅰ）证明：平面eac⊥平面pbd；
ⅱ）若pd∥平面eac，求三棱锥p﹣ead的体积．
3．如图，在四棱锥中p﹣abcd，ab=bc=cd=da，∠bad=60°，aq=qd，△pad是正三角形．
1）求证：ad⊥pb；
2）已知点m是线段pc上，mc=λpm，且pa∥平面mqb，求实数λ的值．
4．如图，四棱锥s﹣abcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点．
ⅰ）求证：ac⊥sd；
ⅱ）若sd⊥平面pac，则侧棱sc上是否存在一点e，使得be∥平面pac．若存在，求se：ec的值；若不存在，试说明理由．
5．如图所示，△abc所在的平面与菱形bcde所在的平面垂直，且ab⊥bc，ab=bc=2，∠bcd=60°，点m为be的中点，点n**段ac上．
ⅰ）若=λ，且dn⊥ac，求λ的值；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求三棱锥b﹣dmn的体积．
6．如图，在三棱柱abc﹣a1b1c1中，ab=ac，且侧面bb1c1c是菱形，∠b1bc=60°．
ⅰ）求证：ab1⊥bc；
ⅱ）若ab⊥ac，ab1=bb1，且该三棱柱的体积为2，求ab的长．
7．如图1，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，e是cd的中点，将△ade沿ae折起，得到如图2所示的四棱锥d1﹣abce，其中平面d1ae⊥平面abce．
1）证明：be⊥平面d1ae；
2）设f为cd1的中点，**段ab上是否存在一点m，使得mf∥平面d1ae，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知多面体abcdef中，△abd、△ade均为正三角形，平面ade⊥平面abcd，ab∥cd∥ef，ad：ef：cd=2：3：4．
ⅰ）求证：bd⊥平面bfc；
ⅱ）若ad=2，求该多面体的体积．
9．如图，在四棱锥中p﹣abcd，底面abcd为边长为的正方形，pa⊥bd．
ⅰ）求证：pb=pd；
ⅱ）若e，f分别为pc，ab的中点，ef⊥平面pcd，求三棱锥的d﹣ace体积．
10．如图，四边形abcd为菱形，g为ac与bd的交点，be⊥平面abcd．
ⅰ）证明：平面aec⊥平面bed；
ⅱ）若∠abc=120°，ae⊥ec，三棱锥e﹣acd的体积为，求该三棱锥的侧面积．
11．如图，四边形abcd是正方形，de⊥平面abcd，af∥de，af=ed=1．
ⅰ）求二面角e﹣ac﹣d的正切值；
ⅱ）设点m是线段bd上一个动点，试确定点m的位置，使得am∥平面bef，并证明你的结论．
12．如图，在四棱锥p﹣abcd中，ab⊥平面bcp，cd∥ab，ab=bc=cp=bp=2，cd=1．
1）求点b到平面dcp的距离；
2）点m为线段ab上一点（含端点），设直线mp与平面dcp所成角为α，求sinα的取值范围．
参***与试题解析。
一．解答题（共12小题）
1．如图1，在正方形abcd中，点，e，f分别是ab，bc的中点，bd与ef交于点h，点g，r分别**段dh，hb上，且．将△aed，△cfd，△bef分别沿de，df，ef折起，使点a，b，c重合于点p，如图2所示．
1）求证：gr⊥平面pef；
2）若正方形abcd的边长为4，求三棱锥p﹣def的内切球的半径．
解答】证明：（ⅰ在正方形abcd中，∠a、∠b、∠c均为直角，在三棱锥p﹣def中，pe，pf，pd三条线段两两垂直，pd⊥平面pef，=，即，∴在△pdh中，rg∥pd，gr⊥平面pef．
解：（ⅱ正方形abcd边长为4，由题意pe=pf=2，pd=4，ef=2，df=2，s△pef=2，s△pfd=s△dpe=4，6，设三棱锥p﹣def的内切球半径为r，则三棱锥的体积：，解得r=，三棱锥p﹣def的内切球的半径为．
2．如图，在四棱锥p﹣abcd中，pd⊥平面abcd，底面abcd是菱形，∠bad=60°，ab=2，pd=，o为ac与bd的交点，e为棱pb上一点．
ⅰ）证明：平面eac⊥平面pbd；
ⅱ）若pd∥平面eac，求三棱锥p﹣ead的体积．
解答】（ⅰ证明：∵pd⊥平面abcd，ac平面abcd，ac⊥pd．∵四边形abcd是菱形，∴ac⊥bd，又∵pd∩bd=d，ac⊥平面pbd．
而ac平面eac，∴平面eac⊥平面pbd．
ⅱ）解：∵pd∥平面eac，平面eac∩平面pbd=oe，pd∥oe，o是bd中点，∴e是pb中点．
取ad中点h，连结bh，∵四边形abcd是菱形，∠bad=60°，bh⊥ad，又bh⊥pd，ad∩pd=d，∴bh⊥平面pad，．
3．如图，在四棱锥中p﹣abcd，ab=bc=cd=da，∠bad=60°，aq=qd，△pad是正三角形．
1）求证：ad⊥pb；
2）已知点m是线段pc上，mc=λpm，且pa∥平面mqb，求实数λ的值．
解答】证明：（1）如图，连结bd，由题意知四边形abcd为菱形，∠bad=60°，△abd为正三角形，又∵aq=qd，∴q为ad的中点，∴ad⊥bq，△pad是正三角形，q为ad中点，ad⊥pq，又bq∩pq=q，∴ad⊥平面pqb，又∵pb平面pqb，∴ad⊥pb．
解：（2）连结ac，交bq于n，连结mn，aq∥bc，∴，pn∥平面mqb，pa平面pac，平面mqb∩平面pac=mn，根据线面平行的性质定理得mn∥pa，综上，得，∴mc=2pm，mc=λpm，∴实数λ的值为2．
4．如图，四棱锥s﹣abcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点．
ⅰ）求证：ac⊥sd；
ⅱ）若sd⊥平面pac，则侧棱sc上是否存在一点e，使得be∥平面pac．若存在，求se：ec的值；若不存在，试说明理由．
解答】解：（ⅰ连bd，设ac交bd于o，由题意so⊥ac，在正方形abcd中，ac⊥bd，所以ac⊥面sbd，所以ac⊥sd．
ⅱ）若sd⊥平面pac，则sd⊥op，设正方形abcd的边长为a，则sd=，od=，则od2=pdsd，可得pd==，故可在sp上取一点n，使pn=pd，过n作pc的平行线与sc的交点即为e，连bn．
在△bdn中知bn∥po，又由于ne∥pc，故平面ben∥面pac，得be∥面pac，由于sn：np=2：1，故se：ec=2：1．
5．如图所示，△abc所在的平面与菱形bcde所在的平面垂直，且ab⊥bc，ab=bc=2，∠bcd=60°，点m为be的中点，点n**段ac上．
ⅰ）若=λ，且dn⊥ac，求λ的值；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求三棱锥b﹣dmn的体积．
解答】解：（ⅰ取bc的中点o，连接on，od，四边形bcde为菱形，∠bcd=60°，do⊥bc，△abc所在的平面与菱形bcde所在平面垂直，∴do⊥平面abc，ac平面abc，∴do⊥ac，又dn⊥ac，且dn∩do=d，ac⊥平面don，on平面don，∴on⊥ac，由o为bc的中点，ab=bc，可得，，即λ=3；
ⅱ）由平面abc⊥平面bcde，ab⊥bc，可得ab⊥平面bcde，由，可得点n到平面bcde的距离为，由菱形bcde中，∠bcd=60°，点m为be的中点，可得dm⊥be，且，△bdm的面积，三棱锥n﹣bdm的体积．
又vn﹣bdm=vb﹣dmn，三棱锥b﹣dmn的体积为．
6．如图，在三棱柱abc﹣a1b1c1中，ab=ac，且侧面bb1c1c是菱形，∠b1bc=60°．
ⅰ）求证：ab1⊥bc；
ⅱ）若ab⊥ac，ab1=bb1，且该三棱柱的体积为2，求ab的长．
解答】解：（i）取bc中点m，连结am，b1m，ab=ac，m是bc的中点，am⊥bc，侧面bb1c1c是菱形，∠b1bc=60°，b1m⊥bc，又am平面ab1m，b1m平面ab1m，am∩b1m=m，bc⊥平面ab1m，∵ab1平面ab1m，bc⊥ab1．
ii）设ab=x，则ac=x，bc=x，m是bc的中点，∴am=，bb1=，b1m=，又∵ab1=bb1，∴ab1=，ab12=b1m2+am2，∴b1m⊥am．
由（i）知b1m⊥bc，am平面abc，bc平面abc，am∩bc=m，b1m⊥平面abc，v==，x=2，即ab=2．
7．如图1，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，e是cd的中点，将△ade沿ae折起，得到如图2所示的四棱锥d1﹣abce，其中平面d1ae⊥平面abce．
1）证明：be⊥平面d1ae；
2）设f为cd1的中点，**段ab上是否存在一点m，使得mf∥平面d1ae，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解答】（1）证明：连接be，abcd为矩形且ad=de=ec=2，ae=be=2，ab=4，ae2+be2=ab2，be⊥ae，又d1ae⊥平面abce，平面d1ae∩平面abce=ae，be⊥平面d1ae．
取d1e中点n，连接an，fn，fn∥ec，ec∥ab，fn∥ab，且fn==ab，m，f，n，a共面，若mf∥平面ad1e，则mf∥an．
amfn为平行四边形，am=fn=．
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