83．（本小题满分12分）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，平面，其垂足落在直线上．
1）求证：；
2）若，，为的中点，求三棱锥的体积．
答案】（1）详见解析；（2）．
解析】试题分析：（1）首先根据直三棱柱可得，再由条件平面易得，从而根据线面垂直的判定可证平面，即有；（2）根据条件中给出的数据可得，因此可得，再由为的中点，因此可将转化为求，从而可得
试题解析：（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，又∵平面，∴，平面，且平面，∴，
又∵平面，平面， 平面，又∵平面，∴；5分（2）在直三棱柱中。
平面，其垂足落在直线上，∴，
在中，,,在中，， 8分
由（1）知平面，平面，从而，为的中点，， 10分
． 12分。
考点：1．线面垂直的性质与判定；2．空间几何体的体积．
84．（本小题满分14分）已知四棱柱abcd－a1b1c1d1的底面abcd是边长为2的菱形， ac∩bd=o, aa1=2, bd⊥a1a, ∠bad=∠a1ac=60°, 点m是棱aa1的中点。
1）求证： a1c∥平面bmd;
2）求证： a1o⊥平面abcd;
3）求直线bm与平面bc1d所成角的正弦值。
答案】（1）（2）证明详见试题分析（3）
解析】试题分析：（1）连结mo，由已知条件推导出mo//a1c,由此能证明。
2）由已知条件推导出bd⊥面a1ac，，由此能证明。
3）通过作辅助线确定直线与平面所成的角，然后求出其正弦值。
试题解析：（1）证明：连结，∵，mo∥，mo平面bmd，平面bmd
a1c∥平面bmd.
2）证明：∵，bd⊥平面。
于是，ab=cd=2,∠bad=60°，∴ao=ac=，又∵，∴又∵，∴平面abcd.
3）解：如图，以o为原点，以oa为轴，ob为轴，为轴建立空间直角坐标系，由题意知，，，设平面的法向量为，则，取，得。
直线bm与平面所成角的正弦值为。
考点：立体几何的证明与求解。
85．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．
1）求证：平面；
2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．
答案】（1）详见解析；（2）
解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设，则，，，则可表示出，，，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由，，故，，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，，故即取，则，故，转化为两个法向量的夹角，设与的夹角为，则．即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小。
试题解析：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。
设，则，故，因为，，故，即，， 又
所以，平面．
2）因为平面，所以可取平面的一个法向量。
为， 点的坐标为，则，，
设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故．
设与的夹角为，则．
所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为。
考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系。
86．如图，等腰梯形abef中，ab//ef，ab=2，ad=af=1，af⊥bf，o为ab的中点，矩形abcd所在平面与平面abef互相垂直。
1）求证：af⊥平面cbf；
2）在棱fc上是否存在点m，使得om//平面daf?
3）求点a到平面bdf的距离。
答案】（1）见解析；（2）m为cf的中点；（3）;
解析】试题分析：（1）依题意cb⊥平面abef,故cb⊥af,而af⊥bf,由判定定理知af⊥平面cbf；（2）取cf的中点m,bf的中点n,易得平面omn||平面adf,从而om//平面daf；（3）过a 作ah⊥df于h,由题意可证ah⊥平面dbf,而ah=,故点a到平面bdf的距离为。
试题解析：（1）
cb⊥af，af⊥bf，af⊥面cbf
2）取cf的中点m,bf的中点n, 连om,on,mn,则mn||bc||ad
mn||平面adf
又∵on||af,∴on||平面adf ∵mnon=n ∴平面omn||平面adf ∴om||平面afd.
3）过a 作ah⊥df于h..
ad ⊥平面abef ∴ad⊥bf 又因为af⊥bf，ad=a ∴bf⊥平面adf
平面adf ∴ah⊥bf 又ah⊥df, dfbf=f ∴ah⊥平面bdf
ah为a到平面bdf的距离。 在中，ad=af=1，所以ah=.
考点：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质与应用
87．（满分13分）如图所示，正四棱锥p－abcd中，o为底面正方形的中心，侧棱pa与底面abcd所成的角的正切值为．
1）求侧面pad与底面abcd所成的二面角的大小；
2）若e是pb的中点，求异面直线pd与ae所成角的正切值；
3）问在棱ad上是否存在一点f，使ef⊥侧面pbc，若存在，试确定点f的位置；若不存在，说明理由．
答案】（1）; 2）; 3）f是ad的4等分点，靠近a点的位置。
解析】试题分析：（1）取ad中点m，连接mo，pm，由正四棱锥的性质知∠pmo为所求二面角p－ad－o的平面角，∠pao为侧棱pa与底面abcd所成的角∴tan∠pao＝，设ab＝a，则ao＝a，po＝a，mo=, tan∠pmo＝,∠pmo＝60°; 2）依题意连结ae，oe，则oe∥pd ，故∠oea为异面直线pd与ae所成的角，由正四棱锥的性质易证oa⊥平面pob,故为直角三角形，oe＝pd＝＝a ∴tan∠aeo＝＝；3）延长mo交bc于n，取pn中点g，连bg，eg，mg，易得bc⊥平面pmn，故平面pmn⊥平面pbc，而△pmn为正三角形，易证mg⊥平面pbc，取ma的中点f,连ef,则四边形mfeg为平行四边形，从而mg//fe,ef⊥平面pbc, f是ad的4等分点，靠近a点的位置。
试题解析：（1）取ad中点m，连接mo，pm，依条件可知ad⊥mo，ad⊥po，则∠pmo为所求二面角p－ad－o的平面角 （2分）
po⊥面abcd，∠pao为侧棱pa与底面abcd所成的角．
tan∠pao＝
设ab＝a，ao＝a， po＝ao·tan∠poa＝a，tan∠pmo＝＝．
∠pmo＝604分）
2）连接ae，oe， ∵oe∥pd，∠oea为异面直线pd与ae所成的角． （6分）
ao⊥bd，ao⊥po，∴ao⊥平面pbd．
又oe平面pbd， ∴ao⊥oe．
oe＝pd＝＝a，tan∠aeo8分）
3）延长mo交bc于n，取pn中点g，连bg，eg，mg．
bc⊥mn，bc⊥pn，∴bc⊥平面pmn
平面pmn⊥平面pbc10分）
又pm＝pn，∠pmn＝60°，∴pmn为正三角形．
mg⊥pn．又平面pmn ∩平面pbc＝pn，∴mg⊥平面pbc． （12分）
f是ad的4等分点，靠近a点的位置 （13分）
考点：立体几何的综合问题。
88．如图，在边长为a的正方体中，m、n、p、q分别为ad、cd、、的中点．
1）求点p到平面mnq的距离；
2）求直线pn与平面mpq所成角的正弦值．
答案】（1）；（2）
解析】试题分析：（1）求点到平面距离，关键是过该点作出平面的垂线（段），然后构造三角形计算，也可以利用等面积或者等体积方法计算，还可以利用空间向量；（2）直线与平面所成角通常通过直线在平面上的射影构造三角形计算，也可以利用平面的法向量计算。
试题解析：方法1（几何法）：∵平面，点p到平面mnq的距离等于点b到平面mnq的距离．设．∵平面mnq平面abcd，∴由得平面mnq，∴点p到平面mnq的距离为． 6分。
2）设点n到平面mnq的距离为d．可以求得，．．由得。
∴．设直线pn与平面mpq所成的角为，则．故直线pn与平面mpq所成的角的正弦值为12分。
方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．
1）是平面mnq的一个法向量．，∴点p到平面mnq的距离
2）设平面mpq的一个法向量为．．由得得。
设直线pn与平面mpq所成的角为，则。
考点：空间几何体，线面关系。
立体几何大题
1 如图，已知正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为，点e在侧棱上，点f在侧棱上，且，i 求证 ii 求二面角的大小。2 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，已知。证明 若为的中点，求三菱锥的体积。3 如图，四棱锥p abcd中，abc bad 90 bc 2ad，pab与 pad都是边长为2的等边三角...
立体几何大题
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立体几何大题
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