(20) (本题满分15分) 如图所示的几何体是由以正三角形abc为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面def所截而得。ab=2，bd=1，ce=3，af=，o为ab的中点．
1）当时，求证：oc//平面def；
2）当时，求平面def与平面abc相交所成且为锐角的二面角的余弦值；
3）当为何值时，在de上存在点p，使cp平面def？
20) （1）证：取df的中点g，连结ge.由三棱柱得，af//bd//ce，而bd=1，af=5，∴ 四边形abdf为梯形，og为梯形abdf的中位线 ∴og//af，且og=3
而ce//af，且ce=3 ∴ogce
四边形oceg为平行四边形 ∴ge//oc
又oc平面def，ge平面def ∴ oc//平面def4分。
2）以直线ob、oc分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， af=，则d、e、f的坐标分别为：d（1，0，1）、e（0，，3）、f（-1，0，4），（6分）
的坐标系中，af=， 1，，2），=2，0， -1）．
因p在de上，设，则。
于是cp平面def的充要条件就为。
由此解得。即当=2时，在de上存在靠近d的第一个四等分点p，使cp平面def. （15分）
20.（本小题14分）如图，在梯形中，∥，平面平面，四边形是矩形，点**段上。
1)求证：平面。
2)当为何值时，∥平面？证明你的结论；
3)求二面角的平面角的余弦值。
20、（本题满分14分）如图，在多面体abcde中，, 是边长为2的等边三角形，，cd与平面abde所成角的正弦值为。
1）**段dc上是否存在一点f，使得，若存在，求线段df的长度，若不存在，说明理由；
2）求二面角的平面角的余弦值。
20．解：（ⅰ取ab的中点g，连结cg，则，又，可得，所以， 所以，cg=,故cd3分。
取cd的中点为f，bc的中点为h,因为，，所以为平行四边形，得5分。
平面 ∴存在f为cd中点，df=时，使得……7分。
ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则，从而，
。……9分。
设为平面的法向量，则可以取10分。
设为平面的法向量，则取 ……11分。
因此，，…13分。
故二面角的余弦值为………14分。
20．（本题15分）已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点。
ⅰ) 求四棱锥的体积；
ⅱ) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；
ⅲ) 若点为的中点，求二面角的大小。
20．解：(ⅰ由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，即四棱锥的体积为5分
ⅱ) 不论点在何位置，都有。
证明如下：连结，∵是正方形。
底面，且平面。
又∵，∴平面。
不论点在何位置，都有平面。
不论点在何位置，都有9分。
ⅲ) 解法1：在平面内过点作于，连结。，rt△≌rt△，从而△≌△
为二面角的平面角。
在rt△中，又，在△中，由余弦定理得，即二面角的大小为15分。
解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系。 则，从而，.
设平面和平面的法向量分别为，由，取。
由，取。 设二面角的平面角为，则，
∴，即二面角的大小为15分
20． (本小题满分14分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示， 其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形。
ⅰ)证明：bn⊥平面c1b1n；
ⅱ)设直线c1n与平面cnb1所成的角为，求sin的值；
ⅲ)m为ab中点，在cb上是否存在一点p，使得mp∥平面cnb1，若存在，求出bp的长；若不存在，请说明理由。
20．解：(ⅰ证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，ba,bc,bb1两两垂直。
以ba,bc,bb1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则n(4,4,0),b1(0,8,0),c1(0,8,4),c(0,0,4)
bn⊥nb1, bn⊥b1c1且nb1与b1c1相交于b1,
bn⊥平面c1b1n4分。
ⅱ)设=(x,y,z)为平面ncb1的一个法向量，则，取=(1,1,2),
则cos9分。
ⅲ)∵m(2,0,0).设p(0,0,a)为bc上一点，则=(-2,0,a)，∵mp∥平面cnb1,⊥·2,0,a) ·1,1,2)=-2+2 a =0 a =1
又mp平面cnb1, ∴mp∥平面cnb1, ∴当bp=1时mp∥平面cnb1. …14分。
20．（本题满分14分）
如图，在三棱拄中，侧面，已知aa1=2, ,求证：；
（ⅱ）试在棱(不包含端点上确定一点的位置，使得；
（iii）在（ⅱ）的条件下，求二面角的平面角的正切值。
20．证（ⅰ）因为侧面，故。
在△bc1c中，由余弦定理有
故有 而且平面。
……4分。（ⅱ）由。
从而且故。不妨设 ，则，则
又则。在直角三角形beb1中有
从而。故为的中点时， …9分。
法二：以为原点为轴，设，则。
由得即。化简整理得或
当时与重合不满足题意。
当时为的中点。
故为的中点使 ……9分。
ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点。
连则，连则，连则。
连则，且为矩形，又故为所求二面角的平面角。
在中，……14分。
法二：由已知，
所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角。
因为 故 ……14分。
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