龙文教育一对一个性化辅导教案
第3讲：高三第二轮复习：立体几何。
一。知识点归纳讲解。
一）空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1.异面直线所成的角的范围是。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：
利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；
证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角。
2.直线与平面所成的角的范围是。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：
找过斜线上一点与平面垂直的直线；
连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
把该角置于三角形中计算。
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；
3.二面角的范围是。
作二面角的平面角常有三种方法：
棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
二）空间的距离。
1.点到直线的距离：
点ｐ到直线的距离为点ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为ａ，过ａ作的垂线，垂足为ｂ连ｐｂ，则由三垂线定理可得线段ｐｂ即为点ｐ到直线的距离。在直角三角形ｐａｂ中求出ｐｂ的长即可。
2.点到平面的距离。
点ｐ到平面的距离为ｐ到平面的垂线段的长。常用求法①作出点ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法：如果平面的斜线上两点ａ,ｂ到斜足ｃ的距离ａｂ,的比为，则点ａ,ｂ到平面的距离之比也为。
特别地，ａｂ时，点ａ,ｂ到平面的距离相等；③体积法。
3.异面直线间的距离。
异面直线间的距离为间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ａｂ为异面直线的公垂线段，然后求出ａｂ的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
4.直线到平面的距离只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
5.平面与平面间的距离只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
三）空间向量的应用
1.用法向量求异面直线间的距离。
如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点e∈a，f∈b，则异面直线 a与b之间的距离是；
2.用法向量求点到平面的距离。
如右图所示，已知ab是平面α的一条斜线，为平面α的法向量，则 a到平面α的距离为。
3.用法向量求直线到平面间的距离。
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
4.用法向量求两平行平面间的距离。
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
5.用法向量求二面角。
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。
6.法向量求直线与平面所成的角。
要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量。
与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者。
2.立体几何解答题讲解。
一）直线与平面所成角。
1.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，,于点。 (1) 求证： ；2) 求直线与平面所成的角的余弦值。
2.如图所示，在三棱锥中，，平面平面，于点，，，1）证明△为直角三角形；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
3.在如图的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，∥，1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
4.如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；
3）求直线和平面所成角的正弦值．
5.如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面，，,1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值。
二）求二面角。
1.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．
1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．
2.如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．（1）证明：平面平面；
2）若，求二面角的余弦值．
3.（2023年全国卷i）如图三棱锥中，侧面为菱形，.
1) 证明：；（2）若，，ab=bc，求二面角的余弦值。
5.如图，在三棱柱中，侧棱底面，为的中点，.
1) 求证：平面； (2) 若四棱锥的体积为， 求二面角的正切值。
三）异面直线所成角。
1.如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，．
1）证明：面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
2.如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面。已知，.(1)证明：平面；
2)求异面直线与所成的角；(3)求与平面所成角的正弦值．
四）基本不等式在立体几何中的应用。
1.如图， 在三棱锥中，平面，,分别是棱的中点，连接。 (1)求证： 平面平面；(2) 若， 当三棱锥的体积最大时， 求二面角的平面角的余弦值。
2.如图，四棱锥中，为矩形，平面平面。（1）求证：
1）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值。
五）立体几何中的探索与存在性问题。
1.如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形。平面abc⊥平面aa1c1c，ab=3，bc=5.
1）求证：aa1⊥平面abc；（2）求二面角a1-bc1-b1的余弦值；
3）证明：**段bc1存在点d，使得ad⊥a1b，并求的值。
2.如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形， ，是线段的中点。 （1）求证：； 2）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值。
六）结合三视图求二面角。
1.如图，分别是直三棱柱直观图及其正视图、俯视图、侧视图（1）求证：∥平面；
2）求证：⊥平面；(3)求二面角的大小。
2.一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中，，，
（1）求证：；（2）求二面角的平面角的大小．
5.作业布置。
1.在如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，ab∥cd,∠dab=60°,fc⊥平面abcd，ae⊥bd，cb=cd=cf.
1）求证：bd⊥平面aed;（2）求二面角f-bd-c的余弦值。
2.（2023年全国卷i）如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1， ∠baa1=60°.（1）证明ab⊥a1c;
2）若平面abc⊥平面aa1b1b，ab=cb=2，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值。
3.（2023年全国卷i）如图，四边形abcd为菱形，∠abc=120°，e，f是平面abcd同一侧的两点，be⊥平面abcd，df⊥平面abcd，be=2df，ae⊥ec.（1）证明：
平面aec⊥平面afc.（2）求直线ae与直线cf所成角的余弦值。
4.如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9．（1）求证：平面平面；
2）求二面角的平面角的正切值．
立体几何解答题
1 如图所示，在三棱锥a boc中，oa 底面boc，oab oac 30 ab ac 4，bc 动点d 段ab上。1 求证 平面cod 平面aob 2 当od ab时，求三棱锥c obd的体积。2 如图，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点 1 求证 平面 2 求三棱锥的体积 3 已知直线 半径...
立体几何解答题
1.如图，直三棱柱abc a1b1c1中，abc是等边三角形，d是bc的中点 1 求证 a1b 平面adc1 2 若ab bb1 2，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值 如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，bac 30 bm ac交ac于点m，ea 平面abc，fc ea，ac 4，ea 3，f...
立体几何解答题
1 2007宁夏 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 证明 平面 求二面角的余弦值 2.2008宁夏卷同海南 如图，已知点p在正方体的对角线上，求dp与所成角的大小 求dp与平面所成角的大小 3.2010年全国新课标卷 如图，已知四棱锥p abcd的底面为等腰梯形，ab cd，ac ...