2009届全国名校真题模拟专题训练09立体几何。
三、解答题(第一部分)
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)（本小题满分12分）如图，直四棱柱abcd—a1b1c1d1的高为3，底面是边长为4且∠dab=60°的菱形，ac∩bd=o，a1c1∩b1d1=o1，e是o1a的中点。
（1）求二面角o1－bc－d的大小；
（2）求点e到平面o1bc的距离。
解法一：1）过o作of⊥bc于f，连接o1f，oo1⊥面ac，∴bc⊥o1f，∠o1fo是二面角o1－bc－d的平面角，……3分。
ob=2，∠obf=60°，∴of=.
在rt△o1of在，tan∠o1fo=
∠o1fo=60° 即二面角o1—bc—d为60°……6分。
2）在△o1ac中，oe是△o1ac的中位线，∴oe∥o1c
oe∥o1bc，∵bc⊥面o1of，∴面o1bc⊥面o1of，交线o1f.
过o作oh⊥o1f于h，则oh是点o到面o1bc的距离，……10分。
oh=∴点e到面o1bc的距离等于………12分。
解法二：（1）∵oo1⊥平面ac，oo1⊥oa，oo1⊥ob，又oa⊥ob，……2分。
建立如图所示的空间直角坐标系（如图）
底面abcd是边长为4，∠dab=60°的菱形，oa=2，ob=2，则a（2，0，0），b（0，2，0），c（－2，0，0），o1（0，0，3）……3分。
设平面o1bc的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥则z=2，则x=－，y=3，=（3，2），而平面ac的法向量=（0，0，3）……5分。
cos<，>设o1－bc－d的平面角为α， cosα=∴60°.
故二面角o1－bc－d为60°. 6分。
2）设点e到平面o1bc的距离为d，∵e是o1a的中点，∴=0，），9分。
则d=∴点e到面o1bc的距离等于。……12分。
2、(江苏省启东中学2023年高三综合测试一)如图在三棱锥s中，，，
1）证明。2）求侧面与底面所成二面角的大小。
3）求异面直线sc与ab所成角的大小。
解：（1）∵∠sab=∠sca=900
3、(江苏省启东中学高三综合测试二)在rt△abc中，∠acb=30°，∠b=90°，d为ac中点，e为bd的中点，ae的延长线交。
bc于f，将△abd沿bd折起，二面角a-bd-c大小记为θ.
ⅰ）求证：面aef⊥面bcd；
ⅱ）θ为何值时，ab⊥cd.
解：（ⅰ证明：在rt△abc中，∠c=30°，d为ac的中点，则△abd是等边三角形。
又e是bd的中点，∵bd⊥ae，bd⊥ef，折起后，ae∩ef=e，∴bd⊥面aef
bd面bcd，∴面aef⊥面bcd
ⅱ）解：过a作ap⊥面bcd于p，则p在fe的延长线上，设bp与cd相交于q，令ab=1，则△abd是边长为1的等边三角形，若ab⊥cd，则bq⊥cd
由于∠aef=θ就是二面角a-bd-c的平面角，4、(江苏省启东中学高三综合测试三)如图，在斜三棱柱abc－a1b1c1中，侧面aa1b1b⊥底面abc，侧棱aa1与底面abc成60的角，aa1=2，底面abc是边长为2的正三角形，其重心为g点，e是线段bc1上一点，且be=bc1。
1)求证：ge∥侧面aa1b1b；
2)求平面b1ge与底面民abc所成锐二面角的大小。
答案：（1）略；（2）arctan (arccos)
5、(江苏省启东中学高三综合测试四)如图， 正方形abcd和abef的边长均为1，且它们所在的平面互相垂直，g为bc的中点．
ⅰ）求点g到平面ade的距离；
ⅱ）求二面角的正切值．
解：（ⅰbc∥ad， ad面ade,点g到平面ade的距离即点b到平面ade的距离．
连bf交ae于h，则bf⊥ae，又bf⊥ad．
bh即点b到平面ade的距离．
在rt△abe中，．
点g到平面ade的距离为．
ⅱ）过点b作bn⊥dg于点n，连en，由三垂线定理知en⊥dn．
为二面角的平面角．
在rt△bng中，则rt△ebn中，所以二面角的正切值为．
6、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)如图，已知面，1)在面上找一点ｍ，使面。
2)求由面与面所成角的二面角的正切。
解：（1）m为pc的中点，设pd中点为n，则mn=cd，且mn//cd，∴mn=ab，mn//ab
abmn为平行四边形，∴ｂ又。
ａｎ⊥又面ｐｃｄ面ｐｃｄ1） 延长ｃｂ交ｄａ于ｅ，ａcd。ａｂcd
又面ｐｃｄ为二面角ｃ－ｐ的平面角。
tan∠ｃｐ
7、已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。
i）求证：平面；
ii）求到平面的距离；
iii）求二面角的大小。
解：（i）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又。
所以平面；……4分。
ii）因为，所以四边形为
菱形，故，又为中点，知。
取中点，则平面，从而面面，
过作于，则面，在中，，故，即到平面的距离为。
（iii）过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中，，所以，在中，故二面角的大小为。……12分。
解法2：（i）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；……4分。
（ii）由，得。
设平面的法向量为，，，所以。
设，则。所以点到平面的距离。……8分。
（iii）再设平面的法向量为，所以。
设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的大小为。
8、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)如图，直三棱柱abc—a1b1c1中，ab=ac=aa1=a,且∠cab=90°,三棱锥p-abc中，p∈平面bb1c1c,且pb=pc=．
1）求直线pa 与平面abc所成角的正切值。
2）求证：pb//平面ab1c
3）求二面角a-pb-c的大小．
解：（1）取的中点，连，，
面面，面，是直线与面所成的角，
在中，中，2）由（1）知，，，又，面，面，面
(3)由（1）知am⊥面cpb,由三垂线定理可知ah⊥pb,在面pbc中过m作mh⊥pb,
垂足为h,连接ah,则∠ahm为二面角a-pb-c的平面角……10分。
在rtδahm中，tan∠ahm==,ahm=
9、(四川省成都市一诊)如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥平面abcd，pa＝ab＝bc＝2，e为pa的中点，过e作平行于底面的平面efgh，分别与另外三条侧棱相交于点f、g、h. 已知底面abcd为直角梯形，ad∥bc，ab⊥ad，∠bcd=135°.
1） 求异面直线af与bg所成的角的大小；
2） 求平面apb与平面cpd所成的锐二面角的大小。
解：由题意可知：ap、ad、ab两两垂直，可建立空间直角坐标系a-xyz
由平面几何知识知：ad＝4,d(0,4,0),b(2,0,0),c(2,2,0),p(0,0,2),e(0,0,1),f(1,0,1),g(1,1,1) …2分。
af与bg所成角为4分。
2)可证明ad⊥平面apb
平面apb的法向量为n＝(0,1,0)
设平面cpd的法向量为m＝(1，y，z)
由 故m＝(1,1,2)
cos＝平面apb与平面cpd所成的锐二面角的大小为arccos
10、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)如图，已知四棱锥p—abcd的底面是直角梯形，∠abc＝∠bcd＝90°，ab＝bc＝pb＝pc＝2cd＝2，侧面pbc⊥底面abcd，o是bc中点，ao交bd于e.
(1)求证：pa⊥bd；
(2)求二面角p－dc－b的大小；
(3)求证：平面pad⊥平面pab.
本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角，空间想想能力，以及综合解题能力。
方法一：(1)证明：
又平面平面abcd
平面平面abcd＝bc，平面abcd2分。
在梯形abcd中，可得，即。
在平面abcd内的射影为ao4分。
2)解：，且平面平面abcd
∴dc⊥平面pbc 平面pbc，∴∠pcb为二面角p—dc—b的平面角6分。
∵△pbc是等边三角形，∴∠pcb＝60°，即二面角p—dc—b的大小为60° …8分。
(3)证明：取pb的中点n，连结cn
∵pc＝bc，∴cn⊥pb，且平面平面abcd
平面pbc10分。
平面pab 平面平面pab ②
由①、②知cn⊥平面pab
连结dm、mn，则由mn∥ab∥cd
mn＝ab＝cd，得四边形mncd为平行四边形。
cn∥dm
dm⊥平面pab
dm平面pad 平面pad⊥平面pab ……12分。
方法二：取bc的中点o，因为△pbc是等边三角形，由侧面pbc⊥底面abcd 得po⊥底面abcd ……1分。
以bc中点o为原点，以bc所在直线为x轴，过点o与。
ab平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
o—xyz……2分。
1)证明：∵cd＝1，则在直角梯形中，在等边三角形pbc中，，即 ……4分。
(2)解：取pc中点n，则。
平面pdc，显然，且平面abcd
所夹角等于所求二面角的平面角6分。
二面角的大小为 ……8分。
3)证明：取pa的中点m，连结dm，则m的坐标为。
又10分。即。
立体几何解答题 答案
1 解析 i 证明 取的中点，连接，则 且 又 且 从而有。eb，所以四边形为平行四边形，故有4分。又平面，平面，所以 平面6分。ii 过作，为垂足，连接，因为平面 平面，且面平面 所以 平面，所以就是直线与平面所成的角 10分。过作，为垂足，因为平面 平面，且面平面 所以 平面，在中，所以 12分...
立体几何解答题
1 如图所示，在三棱锥a boc中，oa 底面boc，oab oac 30 ab ac 4，bc 动点d 段ab上。1 求证 平面cod 平面aob 2 当od ab时，求三棱锥c obd的体积。2 如图，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点 1 求证 平面 2 求三棱锥的体积 3 已知直线 半径...
立体几何解答题
1.如图，直三棱柱abc a1b1c1中，abc是等边三角形，d是bc的中点 1 求证 a1b 平面adc1 2 若ab bb1 2，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值 如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，bac 30 bm ac交ac于点m，ea 平面abc，fc ea，ac 4，ea 3，f...