立体几何。
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．已知点a(－4,8,6)，则点a关于y轴对称的点的坐标为( )
a．(－4，－8,6) b．(－4，－8，－6) c．(－6，－8,4) d．(4,8，－6)
2．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值为( )
a．－1 b．0 c．1 d．－2
3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a，b夹角的余弦值为，则λ等于( )a．2b．－2c．－2或 d．2或。
4．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
a． b． c．4 d．8
5．如图，在四面体abcd中，已知＝b，＝a，＝c，，则等于( )
a． b．
c． d．
6．在三棱锥p－abc中，△abc为等边三角形，pa⊥平面abc，且pa＝ab，则二面角a－pb－c的平面角的正切值为( )
a． b． c． d．
7．已知a(1,2,3)，b(2,1,2)，p(1,1,2)，点q在直线op上运动(o为原点)，则当取最小值时，点q的坐标为( )
a． bc． d．
8．正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为a，e，f分别是bb1，cd的中点，则点f到平面a1d1e的距离为( )
a． b． c． d．
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．若向量a＝(4,2，－4)，b＝(1，－3,2)，则2a·(a＋2b
10．如图，在矩形abcd中，ab＝3，bc＝1，ef∥bc且ae＝2eb，g为bc的中点，k为△afd的外心，沿ef将矩形折成120°的二面角a－ef－b，此时kg的长为。
11．已知直线ab，cd是异面直线，ac⊥ab，ac⊥cd，bd⊥cd，且ab＝2，cd＝1，则异面直线ab与cd所成角的大小为___
三、解答题(共3小题，共34分)
12．(10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点a(－3，－1,4)，b(－2，－2,2)．
1)求|2a＋b|；
2)在直线ab上，是否存在一点e，使得⊥b？(o为原点)
13．(10分)如图，在四棱锥p－abcd中，底面是边长为的菱形，∠bad＝120°，且pa⊥平面abcd，pa＝，m，n分别为pb，pd的中点．
1)证明：mn∥平面abcd；
2)过点a作aq⊥pc，垂足为点q，求二面角a－mn－q的平面角的余弦值．
14．(14分)如图，在直三棱柱abc－a1b1c1中，∠bac＝90°，ab＝ac＝aa1＝1．d是棱cc1上的一点，p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点，且pb1∥平面bda1．
1)求证：cd＝c1d；
2)求二面角a－a1d－b的平面角的余弦值；
周三小测（立体几何）
参***。1答案：d
2答案：d 解析：a＋λb＝(λ1＋λ，1)．
由(a＋λb)⊥a，知(a＋λb)·a＝0，所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2．
3答案：c 解析：由公式cos〈a，b〉＝，知，解方程得λ＝－2或．
4答案：a 解析：|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4＝|a||b|，＝故＝，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为。
s＝|a||b|＝．
5答案：a 解析。
6答案：a 解析：设pa＝ab＝2，建立空间直角坐标系，平面pab的一个法向量是m＝(1,0, 0)，平面pbc的一个法向量是n＝．
则cos〈m，n〉＝．
正切值tan〈m，n〉＝．
7答案：d 解析：由题意可知＝λ，故可设q(λ，2λ)，6λ2－16λ＋10＝，时，·取最小值，此时q的坐标为．
8答案：c 解析：建立如图所示的坐标系，则a1(a,0，a)，d1(0,0，a)，a(a,0,0)，b(a，a,0)，b1(a，a，a)，e，f．
设平面a1d1e的法向量为n＝(x，y，z)，则，，即(x，y，z)·(a,0,0)＝0，(x，y，z)·＝0，－ax＝0，．
x＝0，．n＝．
9答案：32 解析：2a·(a＋2b)＝2|a|2＋4a·b＝2×36＋4×(－10)＝32．
10答案： 解析：如图，过k作km⊥ef，m为垂足，则向量与的夹角为120°.
＝1＋＋1＋＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×××cos 180°＝2＋＋1－＝3．
答案：60° 解析：设ab与cd所成的角为θ，则cos θ＝
由于0＋12＋0＝1，cos θ＝
由于0°＜θ90°，∴60°，故异面直线ab与cd所成角的大小为60°．
12答案：解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝．
答案：解：＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(3＋t，－1－t,4－2t)．若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(1－t)＋(4－2t)＝0，解得，因此存在点e，使得⊥b，此时e点坐标为．
13答案：证明：连结bd，因为m，n分别是pb，pd的中点，所以mn是△pbd的中位线．所以mn∥bd．
又因为mn平面abcd，bd平面abcd，所以mn∥平面abcd．
答案：解法一：连结ac交bd于o，以o为原点，oc，od所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系o－xyz，如图所示．
在菱形abcd中，∠bad＝120°，得ac＝ab＝，bd＝ab＝6．
又因为pa⊥平面abcd，所以pa⊥ac．
在直角△pac中，，，aq⊥pc，得qc＝2，pq＝4，由此知各点坐标如下：a(，0,0)，b(0，－3,0)，c(，0,0)，d(0,3,0)，p(，0,)，m，n，q．
设m＝(x，y，z)为平面amn的法向量．
由＝，＝知。
取z＝－1，得m＝(，0，－1)．
设n＝(x，y，z)为平面qmn的法向量．
由＝，知。取z＝5，得n＝(，0,5)．
于是cos〈m，n〉＝．
所以二面角a－mn－q的平面角的余弦值为．
解法二：在菱形abcd中，∠bad＝120°，得ac＝ab＝bc＝cd＝da，bd＝ab．
又因为pa⊥平面abcd，所以pa⊥ab，pa⊥ac，pa⊥ad．
所以pb＝pc＝pd．
所以△pbc≌△pdc．
而m，n分别是pb，pd的中点，所以mq＝nq，且am＝pb＝pd＝an．
取线段mn的中点e，连结ae，eq，则ae⊥mn，qe⊥mn，所以∠aeq为二面角a－mn－q的平面角．
由ab＝，pa＝，故在△amn中，am＝an＝3，mn＝bd＝3，得ae＝.
在直角△pac中，aq⊥pc，得。
aq＝，qc＝2，pq＝4，在△pbc中，cos∠bpc＝，得mq＝.
在等腰△mqn中，mq＝nq＝，mn＝3，得。
在△aeq中，，，得。
cos∠aeq＝.
所以二面角a－mn－q的平面角的余弦值为．
14答案：解：如图，以a1为原点，a1b1，a1c1，a1a所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系a1xyz，则a1(0,0,0)，b1(1,0,0)，c1(0,1,0)，b(1,0,1)．
答案：解：如图，以a1为原点，a1b1，a1c1，a1a所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系a1xyz，则a1(0,0,0)，b1(1,0,0)，c1(0,1,0)，b(1,0,1)．
设c1d＝x，∵ac∥pc1，．
由此可得d(0,1，x)，p，＝(1,0,1)，＝0,1，x)，．
设平面ba1d的一个法向量为n1＝(a，b， c)，则。
令c＝－1，则n1＝(1，x，－1)．
pb1∥平面ba1d，n1·＝1×(－1)＋x·＋(1)×0＝0．
由此可得，故cd＝c1d．
答案：解：由(1)知，平面ba1d的一个法向量n1＝．
又n2＝(1,0,0)为平面aa1d的一个法向量，cos〈n1，n2〉＝．
故二面角a－a1d－b的平面角的余弦值为．
3)求点c到平面b1dp的距离．
答案：解：∵＝1，－2,0)，＝设平面b1dp的一个法向量n3＝(a1，b1，c1)，则。
令c1＝1，可得n3＝．又，点c到平面b1dp的距离．
空间向量与立体几何专题 含答案
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