1、选择题：
1.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ b ）
2.圆锥的表面积是底面积的倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）
a． b． c． d．
解：圆锥的表面积是其侧面积与底面积之和，根据题意有侧面积是底面积的2倍。又因为圆锥的侧面展开图是扇形，其圆心角，半径为，且其弧长等于圆锥底面周长，所以，根据扇形面积公式有，代入，得。
3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是( )
a．8 b．12 c． d．
解：由三视图可知：此几何体为正四棱锥，主视图的高为椎体高为，可求得斜高为2，故全面积为，故选b.
考点：三视图求几何体的表面积。
4．某工厂对一批新产品的长度（单位：）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）
a． b． c． d．
解：产品的中位数出现在概率是的地方．自左至右各小矩形面积依次为 ，设中位数是，则由得，，选。
5.下列程序框图中，输出的的值是( )
abcd．
解：根据题意有，在运行的过程中，；；以此类推，就可以得出输出的a是以为分子，分母构成以为首项，以为公差的等差数列，输出的是第10项，所以输出的结果为，故选c．
6．直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角的余弦值为 （ d ）
a． bcd．
解：直三棱柱中，，，分别是，的中点，设bc的中点为o，连接。
on,则，因为，设则，在中，由余弦定理可得，与所成的角的余弦值为。
二、填空题：
7．已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于___
解：设，则，所以．因为，即，解得，所以．
8.已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积
解：如图所示，由已知，平面，所以，取的中点，由直角三角形的性质，到的距离均为，其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为。
3、解答题：
9.已知关于的二次函数。
1）设集合和，分别从集合，中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率。
2）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率。
解：要使函数在区间上是增函数，需且，即且。
1）所有的取法总数为个，满足条件的有共16个，所以所求概率。
2）如图。求得区域的面积为，由，求得。
所以区域内满足且的面积为，所以所求概率
10.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面。 若。
1）求证：平面；
2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由。
证明：（1）令则。
在直角梯形中， ,即。
又∵,∴侧面底面，且交线为，平面。
平面， 平面。 ∴平面。
2）存在侧棱的中点，使得平面。证明如下：
取的中点，的中点，连接可知。
又 ∴∴四边形为平行四边形。
∵平面，平面。∴平面。
存在侧棱的中点，使得平面。
11.如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，
1）求证：平面；
2）求证：平面；
3）求三棱锥的体积．
解：（1）因为四边形为矩形，所以平面，平面，所以平面．
2）过作，垂足为，因为所以四边形为矩形．
所以，又因为所以，所以，所以；
因为平面，所以平面，所以，又因为平面，平面，所以平面．
3）因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．
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