2．（2012,广东。本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥p-abcd中，ab平面pad,abcd,pd=ad,e是pb的中点，f是dc上的点且df=ab,ph为pad中ad边上的高．
1） 证明：ph平面abcd；
2） 若ph=1，ad=,fc=1，求三棱锥e-bcf的体积；
3） 证明：ef平面pab． 解：
4分。2):过b点做bg；
连接hb,取hb 中点m，连接em，则em是的中位线。
即em为三棱锥底面上的高。
6分。8分。
3）：取ab中点n，pa中点q，连接en，fn，eq，dq
13分。(2005，全国3.本小题满分12分)
在四棱锥v-abcd中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面vad⊥底面abcd．
（ⅰ）证明ab⊥平面vad；
（ⅱ）求面vad与面vdb所成的二面角的大小．
证明：（ⅰ作ad的中点o，则vo⊥底面。
abcd1分。
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为12分。
则a（，0，0），b（，1，0），c（-，1，0），d（-，0，0），v（0，0，），3分。
由4分。5分。
又ab∩**=a ∴ab⊥平面vad6分。
（ⅱ）由（ⅰ）得是面vad的法向量7分。
设是面vdb的法向量，则。
…9分，…分。
又由题意知，面vad与面vdb所成的二面角，所以其大小为。
4.（2012,全国。本小题满分12分）
如图，三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱垂直底面，∠acb=90°，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中点。
ｉ)证明：平面bdc1⊥平面bdc
ⅱ）平面bdc1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
5（12，天津。本小题满分13分）
如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，ad⊥pd，bc=1，pc=2，pd=cd=2.
i）求异面直线pa与bc所成角的正切值；
ii）证明平面pdc⊥平面abcd；
iii）求直线pb与平面abcd所成角的正弦值。
6（12，山东。本小题满分12分)
如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.
ⅰ)求证：；
ⅱ)若∠，m为线段ae的中点，求证：∥平面。
(i)设中点为o，连接oc，oe，则由知，又已知，所以平面oce.
所以，即oe是bd的垂直平分线，所以。
ii)取ab中点n，连接，m是ae的中点，∴∥是等边三角形，∴.
由∠bcd＝120°知，∠cbd＝30°，所以∠abc＝60°+30°＝90°，即，所以nd∥bc，所以平面mnd∥平面bec，故dm∥平面bec.
7、(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱aa1⊥底面abc，ab＝ac＝2aa1＝2，∠bac＝120°，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad上异于端点的点．
1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面add1a1；
2)设(1)中的直线l交ac于点q，求三棱锥a1－qc1d的体积．(锥体体积公式：v＝sh，其中s为底面面积，h为高)
解：(1)如图，在平面abc内，过点p作直线l∥bc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面a1bc．
由已知，ab＝ac，d是bc的中点，所以，bc⊥ad，则直线l⊥ad．
因为aa1⊥平面abc，所以aa1⊥直线l.
又因为ad，aa1在平面add1a1内，且ad与aa1相交，所以直线l⊥平面add1a1.
2)过d作de⊥ac于e，因为aa1⊥平面abc，所以de⊥aa1.
又因为ac，aa1在平面aa1c1c内，且ac与aa1相交，所以de⊥平面aa1c1c．
由ab＝ac＝2，∠bac＝120°，有ad＝1，∠dac＝60°，所以在△acd中，de＝ad＝.
又＝a1c1·aa1＝1，所以＝＝de·＝.
因此三棱锥a1－qc1d的体积是。
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