专题九：立体几何
高考试卷中立体几何把考查的立足点放在空间图形上，突出对空间观念和空间想象能力的考查。立体几何的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体。因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力。
多面体和棱柱、棱锥、正多面体、球是空间直线与平面问题的延续和深化。要熟练掌握概念、性质以及它们的体积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题来解，会运用“割补法”等求解。
本章主要考查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离、面积及体积。
考试要求。１）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。
２）掌握两条直线平行与垂直的判定、性质定理。掌握两条直线所成的角和距离的概念。
3）掌握直线和平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握直线和平面所成的角、距离的概念。了解三垂线定理及其逆定理。
4）掌握两个平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两平面间的距离的概念。
5）会用反证法证明简单的问题。了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。
6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
7）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
8）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。
9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
疑难点拔】1、 立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。
2、 高考直接考查线面位置关系，以多面体为载体考查线面间位置关系是今后命题的一种趋势。
3、 求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视。
4、 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的。
5、 立体几何的证明与计算的书写格式要求非常严格，因此在平时的训练中要多加注意书写的格式的严密性。
6、 （2023年全国文24、理23）如图，圆柱的轴截面abcd是正方形，点e在底面的圆周上，af de，f是垂足。
1） 求证：af db；
2） （理）如果圆柱与三棱柱d-abe的体积比等于3，求直线de与平面abcd所成的角。
文）求点e到截面abcd的距离。
评述：本题主要考查圆柱的概念，两异面直线垂直、直线与平面的垂直、圆柱及棱锥的体积、直线与平面所成的角。主要考查空间想象能力和逻辑推理能力。
分析本题考生答题失误大致有如下几点：
1） 缺乏清晰的空间形体观念，抓不住“da、ae、eb三线两两垂直”这个本质关系，解答过程中方向不明，层次不清，逻辑混乱现象均可能发生。
2） 未能找到de与平面abcd所成的角。
3） 未能正确和准确地进行推理计算，随意列写各种关系，盲目换算。
4） 数值计算出现差错。
专题九： 立体几何。
瓶窑中学黄向军。
经典题例】例1：在正三角形abc中，d、e、f分别为各边的中点，g、h、i、j分别为af、ad、be、de的中点。将abc沿de、ef、df折成三棱锥以后，gh与ij所成的度数为（ ）
a 90 b 60 c 45 d 0
思路分析]将三角形折成三棱锥以后，hg与ij为一对异面直线。过点d分别作hg与ij的平行线，即df与ad。所以adf即为所求。故hg与ij所成角为60
简要评述]本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。
例2：正六棱柱abcdef--abcdef的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线ed与bc所成的角是（ ）
a 90 b 60 c 45 d 30
思路分析]连接fe、fd，则由正六棱柱相关性质得fe//bc。在中，ef=ed=1，，。在直角三角形efe和eed中，易得ef=ed=。
是等边三角形。。即bc与de所成的角为60。
简要评述]本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法。
例3：如图，在底面边长为2的正三棱锥v—abc中，e是bc的中点，若的面积是，则侧棱va与底面所成的角的大小为。
结果用反三角函数值表示）。
思路分析]作vo垂直ae，由正三棱锥v—abc得o为中心。则ae=2=，得vo=tanvao=，得va与底面所成的角的大小为arctan
简要评述]本题主要考查正三棱柱的性质及直线与平面所成的角的作法与求法。
例4：若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小为结果用反三角函数值表示）
思路分析]设棱锥的高为h，如图则v=，d为bc的中点，od=易证为侧面与底面所成二面角的平面角，，故。
简要评述]本题主要考查三棱锥中的基本数量关系，考查二面角的概念及计算。
例5：关于直角aob在定平面内的射影有如下判断：（1）可能是0的角；（2）可能是锐角；（3）可能是直角；（4）可能是钝角；（5）可能是180的角。
其中正确判断的序号是： （注：把你认为是正确判断的序号都填上）。
思路分析]答案。
简要评述]这是考核空间想象能力的问题。
例6：如图，四棱锥s—abcd的底面是边长为1的正方形，sd垂直于底面abcd，sb=。
1） 求证bc
2） 求面asd与面bsc所成二面角的大小。
3） 设棱sa的中点为m，求异面直线dm与sb所成角的大小。
思路分析]本题涉及到求二面角及异面直线所成角的问题，因此要先作出（找出）二面角的平面角及异面直线所成角，再求解。
简要评述]本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
例7：已知正四棱柱abcd--abcd，如图，ab=1，aa=2，点e为cc的中点。
1） 证明：ef为bd与cc的公垂线；
2） 求点d到面bde的距离。
思路分析]证明公垂线问题与求点到面的距离采用建立适当的空间坐标系，利用空间向量来证明及求解比较适合。
简要评述]本题主要考查正四棱柱的性质及运用空间向量解决问题的能力。
例8：在三棱锥s—abc中，，且ac=bc=5，sb=5，如图。
证明：scbc；
1） 求侧面sbc与底面abc所成二面角的大小；
2） 求三棱锥的体积v。
思路分析]由题意可以得是二面角的平面角，故在rt 与rt可求得。又由rt可求得sa=，故可得v。
简要评述] 本题主要考查空间想象能力、灵活运用所学知识解决问题的能力。
热身冲刺】一、选择题：
1．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
（a）30b）45c）60d）75
2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4cm、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是。
（a） （b） （cd）
3．等边三角形abc的边长为4，m、n分别为ab、ac的中点，沿mn将折起，使得面amn与面mncb所成的二面角为30，则四棱锥a—mncb的体积为（ ）
（abcd）3
4．若二面角为120，直线m,则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是 （
（a） （bcd）
5．关于直线a、b 、及平面m、n，下列命题中正确的是。
（a）若a //m,b //m,则a //bb）若a //m,ba,则b mc）若a且则 （d）若则。
6．棱长为a的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
（abcd）
7．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
（a）3b）4cd）6
8． 已知圆锥的底面半径为r，高为3r，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
（a）2bcd）
9．在下列条件中，可判断平面与平行的是。
（a）都垂直于平面b）内存在不共线的三点到的距离相等c）、m是内两条直线，且d）、是两条异面直线，且。
10．在正三棱柱abc—abc中，若ab=bb，则ab与cb所成的角的大小为。
（a）60b）90c）105d）75
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09立体几何
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