1.四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，
ⅰ）证明：；
ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
解：（1）取中点，连接交于点， ，又面面， 面，，即，面，．
2）在面内过点作的垂线，垂足为．，面，则即为所求二面角的平面角．，则，即二面角的大小．
2.如图，正四棱柱中，，点在上且．
ⅰ）证明：平面；
ⅱ）求二面角的大小．
解法一：依题设知，．
ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，． 3分。
在平面内，连结交于点，由于，故，与互余．
于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面． 6分。
ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角． 8分。
又，．所以二面角的大小为． 12分
解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．
依题设，． 3分。
ⅰ）因为，故，．
又，所以平面． 6分。
ⅱ）设向量是平面的法向量，则。
故，．令，则，，．9分。
等于二面角的平面角，
所以二面角的大小为． 12分。
3．如图，在三棱锥中，，，
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求点到平面的距离．
解法一：ⅰ）取中点，连结．
平面．平面，ⅱ）又，又，即，且，平面．
取中点．连结．
是在平面内的射影，是二面角的平面角．
在中，二面角的大小为．
ⅲ）由（ⅰ）知平面，平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，平面．
的长即为点到平面的距离．
由（ⅰ）知，又，且，平面．
平面，在中，
点到平面的距离为．
解法二：ⅰ），又，平面．
平面，ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．设．
取中点，连结．，．
是二面角的平面角．，二面角的大小为．
ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（ⅱ）建立空间直角坐标系．
点的坐标为．
点到平面的距离为．
4.如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, 为的中点，为的中点。
ⅰ）证明：直线；
ⅱ）求异面直线ab与md所成角的大小；
ⅲ）求点b到平面ocd的距离。
方法一（综合法）
（1）取ob中点e，连接me，ne又。
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接， 所以与所成角的大小为。
（3）点a和点b到平面ocd的距离相等，连接op,过点a作。
于点q， 又，线段aq的长就是点a到平面ocd的距离， ，所以点b到平面ocd的距离为。
方法二(向量法)
作于点p,如图，分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立坐标系。
设平面ocd的法向量为，则。
即 取，解得。
2)设与所成的角为，与所成角的大小为。
3)设点b到平面ocd的距离为，则为在向量上的投影的绝对值，由， 得。所以点b到平面ocd的距离为。
5.如图，已知四棱锥p-abcd，底面abcd为菱形，pa⊥平面abcd，,e，f分别是bc, pc的中点。
ⅰ）证明：ae⊥pd;
ⅱ）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的正切值为，求二面角e—af—c的余弦值。
ⅰ）证明：由四边形abcd为菱形，∠abc=60°，可得△abc为正三角形。
因为 e为bc的中点，所以ae⊥bc.
又 bc∥ad，因此ae⊥ad.
因为pa⊥平面abcd，ae平面abcd，所以pa⊥ae.
而 pa平面pad，ad平面pad 且pa∩ad=a，所以 ae⊥平面pad，又pd平面pad.
所以 ae⊥pd.
ⅱ）解：设ab=2，h为pd上任意一点，连接ah，eh.
由（ⅰ）知 ae⊥平面pad，则∠eha为eh与平面pad所成的角。
在rt△eah中，ae=，所以当ah最短时，∠eha最大，即当ah⊥pd时，∠eha最大。
此时 tan∠eha=
因此 ah=.又ad=2，所以∠adh=45°，所以 pa=2.
解法一：因为 pa⊥平面abcd，pa平面pac，所以平面pac⊥平面abcd.
过e作eo⊥ac于o，则eo⊥平面pac，过o作os⊥af于s，连接es，则∠eso为二面角e-af-c的平面角，在rt△aoe中，eo=ae·sin30°=，ao=ae·cos30°=,又f是pc的中点，在rt△aso中，so=ao·sin45°=,又
在rt△eso中，cos∠eso=
即所求二面角的余弦值为。
解法二：由（ⅰ）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又e、f分别为bc、pc的中点，所以。
e、f分别为bc、pc的中点，所以。
a（0，0，0），b（，-1，0），c（c，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（），所以
设平面aef的一法向量为。
则因此。取。
因为 bd⊥ac，bd⊥pa，pa∩ac=a，所以 bd⊥平面afc，故为平面afc的一法向量。
又。所以 cos＜m,＞=
因为二面角e-af-c为锐角，所以所求二面角的余弦值为。
6.如图所示，四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为1的菱形，∠bcd＝60°，e是cd的中点，pa⊥底面abcd，pa＝2.
（ⅰ）证明：平面pbe⊥平面pab;
ⅱ）求平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小。
解： 解法一（ⅰ）如图所示，连结bd，由abcd是菱形且∠bcd=60°知，bcd是等边三角形。因为e是cd的中点，所以be⊥cd,又ab∥cd,所以be⊥ab.
又因为pa⊥平面abcd，平面abcd，所以。
pa⊥be.而ab=a,因此be⊥平面pab.
又平面pbe，所以平面pbe⊥平面pab.
ⅱ）延长ad、be相交于点f，连结pf.
过点a作ah⊥pb于h，由（ⅰ）知。
平面pbe⊥平面pab,所以ah⊥平面pbe.
在rt△abf中，因为∠baf＝60°，所以，af=2ab=2=ap.
在等腰rt△paf中，取pf的中点g，连接ag.
则ag⊥pf.连结hg，由三垂线定理的逆定理得，pf⊥hg.所以∠agh是平面pad和平面pbe所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰rt△paf中，
在rt△pab中，
所以，在rt△ahg中，
故平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小是。
解法二： 如图所示，以a为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别是a（0，0，0），b（1，0，0），p（0，0，2）,
ⅰ）因为，平面pab的一个法向量是，所以共线。从而be⊥平面pab.
又因为平面pbe，故平面pbe⊥平面pab.
(ⅱ)易知
设是平面pbe的一个法向量，则由得。
所以。设是平面pad的一个法向量，则由得。
所以故可取。
于是， 故平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小是。
7.如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；
3）当时，求的面积．
解析】（1）在中，，
而pd垂直底面abcd，
在中，,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为，由有，即。
2),而，即，是直角三角形；
3）时， ,即，的面积。
浙江卷（18）（本题14分）如图，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，be//cf， bcf=cef=,ad=,ef=2。
ⅰ）求证：ae//平面dcf；
ⅱ）当ab的长为何值时，二面角a-ef-c的大小为？
本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．
方法一：ⅰ）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故．
因为平面，平面，所以平面．
ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．
由平面平面，，得。
平面，从而．
所以为二面角的平面角．
在中，因为，，所以，．
又因为，所以，从而．
于是．因为，所以当为时，二面角的大小为．
方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．
设，则，，，
ⅰ）证明：，所以，，从而，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
故平面．ⅱ）解：因为，所以，，从而。
解得．所以，．
设与平面垂直，则，解得．
又因为平面，所以，得到．
所以当为时，二面角的大小为．
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