立体几何备考题。
1.关于直线m，n和平面α，β有以下四个命题：
当m∥α，n∥β，时，m∥n；
当m∥n，mα，n⊥β时，α⊥
当α∩βm，m∥n时，n∥α且n∥β；
当m⊥n，α∩m时，n⊥α或n⊥β.
其中假命题的序号是___
解析】对于①，m，n可以相交，可以异面；对于③，可以nα；对于④，可以nα.
答案】①③2.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题：
若l⊥α，则l∥β；若l∥α，则l∥β；
若l⊥α，则l⊥β；若l∥α，则l⊥β.
其中正确命题的个数是( )
a．1 b．2 c．3 d．4
解析】对于①，可能lβ；对于②，可能lβ；对于④，l∥β，lβ，l与β相交都有可能．综上可知①②④为假命题．由面面平行的性质定理易知命题③正确，故选a.
答案】a点评】对于空间位置关系判断题，一是熟练掌握教材8个定理，其次可以充分利用笔、试卷、课桌、教室等工具进行演示，错误命题只需找到一个反例即可，正确的要能证明，也可以采取排除法。
3.利用斜二测画法得到如下结论：
三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中正确的是( )
abc ③④d ①②
解析】由斜二测画法规则知，保持平行性、平行x轴长度保持不变，平行y轴的长度减半．故①②正确。
答案】a4. 有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠abc=45°,ab=ad=1,dc⊥bc,则这块菜地的面积为 .
解析】在直观图中，过点a作ae⊥bc,垂足为e,则在rt△abe中，ab=1,∠abe=45°,be=,而四边形aecd为矩形，ad=1,∴ec=ad=1,∴bc=be+ec=+1.
由此可还原原图形如图所示。
在原图形中，a'd'=1,a'b'=2,b'c'=+1,且a'd'∥b'c',a'b'⊥b'c',∴这块菜地的面积为s=(a'd'+b'c')·a'b'=×2=2+.
答案】2+点评】斜二测画法把握好两个原则，平行性原则和长度原则，所有的平行性都不变，平行于x轴和z轴的长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，要弄清楚给出的是直观图还是原图。
5. 已知某组合体的主视图与左视图相同(如图1所示，其中ab=ac,四边形bcde为正方形),则该组合体的俯视图可以是如图2所示的把你认为正确的图的序号都填上)图1图2
解析】由主视图与左视图可得该几何体可以是由正方体与底面边长相同的四棱锥组合而成的，则其俯视图为图①;可以是由正方体与底面直径与底面正方形边长相同的圆锥组合而成的，则其俯视图为图④;可以是由圆柱与底面相同的圆锥组合而成的，则其俯视图为图③;可以是由圆柱与底面正方形边长等于圆柱底面直径的四棱锥组合而成的，则其俯视图为图②.
答案】①②6.已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为 （
a． b． c． d．
解析】几何体为一个正四棱锥，高为，底为边长为2的正方形，故体积为选c．
答案】c点评】三视图充分发挥想象能力，可以借助常见的长方体、正方体来选取几何体。
7. 圆柱的一个底面积为s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
a．4πs b．2πs c．πs d.πs
解析】 设圆柱的底面半径为r，则s＝πr2，∴r＝.
由题意得圆柱的高h＝2πr，∴s侧＝2πr·h＝4π2·＝4πs.
答案】 a8. 长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )
ab．56π c．14π d．64π
解析】 设过长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则得。
令球的半径为r，则(2r)2＝22＋12＋32＝14，即该球的表面积s＝4πr2＝14π.
答案】 c点评】熟练掌握旋转体的侧面积和体积公式，注意区分侧面展开图和轴截面的区别。
如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱垂直于底面，ab⊥bc，aa1＝ac＝2，bc＝1，e，f分别是a1c1，bc的中点．
1)求证：平面abe⊥平面b1bcc1；
2)求证：c1f∥平面abe；
3)求三棱锥e－abc的体积．
解析】1)证明：在三棱柱abc－a1b1c1中，bb1⊥底面abc.
所以bb1⊥ab.
又因为ab⊥bc，bb1∩bc＝b，所以ab⊥平面b1bcc1.
又ab平面abe.
所以平面abe⊥平面b1bcc1.
2)证明：取ab中点g，连接eg，fg.
因为e，f分别为是a1c1，bc的中点，所以fg∥ac，且fg＝ac.
因为ac∥a1c1，且ac＝a1c1，所以fg∥ec1，且fg＝ec1.
所以四边形fgec1为平行四边形．
所以c1f∥eg.
又因为eg平面abe，c1f平面abe，所以c1f∥平面abe.
3)因为aa1＝ac＝2，bc＝1，ab⊥bc，所以ab＝＝.
所以三棱锥e－abc的体积。
v＝s△abc·aa1＝××1×2＝.
10.四棱锥p－abcd中，底面abcd是直角梯形，∠dab＝90°，ad∥bc，ad⊥侧面pab，△pab是等边三角形，da＝ab＝2，bc＝ad，e是线段ab的中点．
1)求证：pe⊥cd；
2)求pc与平面pde所成角的正弦值．
解析】 (1)证明：因为ad⊥侧面pab，pe平面pab，所以ad⊥pe.
又因为△pab是等边三角形，e是线段ab的中点，所以pe⊥ab.
因为ad∩ab＝a，所以pe⊥平面abcd.
而cd平面abcd，所以pe⊥cd.
2)以e为原点，建立如图所示的空间直角坐标系e－xyz.
则e(0,0,0)，c(1，－1,0)，d(2,1,0)，p(0,0，)．
设n＝(x，y，z)为平面pde的法向量．
由即。令x＝1，可得n＝(1，－2,0)．
设pc与平面pde所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝
所以pc与平面pde所成角的正弦值为。
11．如图，五面体中，四边形abcd是矩形，ad⊥面abef，且ad＝1，ab∥ef，ab＝ef＝2，af＝be＝2，p、q、m
分别为ae、bd、ef的中点．
1)求证：pq∥平面bce；
2)求证：am⊥平面adf；
3)求二面角a－df－e的余弦值．
解析】(1)证明连结ac，因为四边形abcd是矩形，q为bd的中点，q为ac的中点，又在△aec中，p为ae的中点，∴pq∥ec，ec面bce，pq面bce，∴pq∥平面bce.
2)证明 ∵m为ef的中点，∴em＝ab＝2，又∵ef∥ab，四边形abem是平行四边形．
am∥be，am＝be＝2，又∵af＝2，mf＝2，△maf是rt△且∠maf＝90°.
ma⊥af.
又∵da⊥平面abef，ma面abef，ma⊥da，又∵da∩af＝a，am⊥平面adf.
3)解如图，以a为坐标原点，以am、af、ad所在直线。
分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则a(0,0,0)，d(0,0,1)，m(2,0,0)，f(0,2,0)．
可得＝(2,0,0)，＝2,2,0)，＝0,2，－1)．
设平面def的法向量为n＝(x，y，z)，则。
故，即。令x＝1，则y＝1，z＝2，故n＝(1,1,2)是平面def的一个法向量．
am⊥面adf，∴为平面adf的一个法向量．
所以cos〈n，〉＝
图可知所求二面角为锐角，所以二面角a－df－e的余弦值为。
12.如图，△abc是以∠abc为直角的三角形，sa⊥平面abc，sa＝bc＝2，ab＝分别是sc，ab，bc的中点．
(1)求证：mn⊥ab；
2)求二面角snda的余弦值；
3)求点a到平面snd的距离．
解析】 以b为坐标原点，bc， ba为x，y轴的正方向，垂直于平面abc的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图)．
(1)证明由题意得a(0，4，0)，b(0，0，0)，m(1，2，1)，n(0，2，0)，s(0，4，2)，d(1，0，0)．
所以：＝(1，0，－1)，＝0，－4，0)，·0，∴mn⊥ab.
2)设平面snd的一个法向量为m＝(x，y，z)，则：m·＝0，且m·＝0.
＝(0，－2，－2)，＝1，2，0)，即。
令z＝1，得：x＝－2，y＝－1，m＝(－2，－1，1)．
又平面and的法向量为n＝(0，0，1)，cos〈m，n〉＝＝
由题图易知二面角snda为锐角，故其余弦值为。
3)∵＝0，－2，0)，点a到平面snd的距离。
d＝＝.13.已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，底面abcd，点p为的中点。
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