7.4 直线、平面平行的判定和性质(练习案）
一、选择题。
1．已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：
直线l上的点都在平面α内；
直线l上有些点不在平面α内；
平面α内任意一条直线都不与直线l平行．
其中真命题的个数是( )
a．3 b．2 c．1 d．0
2．给出三个命题：
若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行；
若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行；
若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行．
其中正确命题的个数是( )
a．0 b．1 c．2 d．3
3．下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α，表示三个不同的平面。
若m⊥α，n∥α，则m⊥n; ②若α⊥γ则α∥β
若m∥α，n∥α，则m∥n; ④若α∥βm⊥α，则m⊥γ.
其中正确的命题是( )
a．①③b．②③c．①④d．②④
4．已知α，β是三个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是( )
a．若l⊥α，l∥β，则α∥βb．若γ⊥α则α∥β
c．若l∥m，且lα，mβ，l∥β，m∥α，则α∥β
d．若l，m异面，且lα，mβ，l∥β，m∥α，则α∥β
5．a、b、c为三条不重合的直线，α、为三个不重合平面，现给出六个命题。
a∥b ②a∥b ③α
α∥βa ⑥αa
其中正确的命题是( )
ab．①④c．①④d．①③
6．下面四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab∥平面mnp的图形是( )
a．①②b．①④c．②③d．③④
二、填空题。
7．若α、β是两个相交平面，点a不在α内，也不在β内，则过点a且与α和β都平行的直线有且只有___条．
8．设α、β为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩m，nγ，且___则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
α∥γnβ；②m∥γ，n∥β；n∥β，mγ.
9．过三棱柱abc－a1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有___条．
三、解答题。
11．如图所示，正方体abcd－a1b1c1d1中，m、n分别为a1b1、a1d1的中点，e、f分别为b1c1、c1d1的中点．
1)求证：四边形bdef是梯形；
2)求证：平面amn∥平面efdb.
13．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中m，n分别是ab，ac的中点，g是df上的一动点．
1)求该多面体的体积与表面积；
2)求证：gn⊥ac；
3)当fg＝gd时，在棱ad上确定一点p，使得gp∥平面fmc，并给出证明．
答案。1．(2013·福州质检)已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：
直线l上的点都在平面α内；
直线l上有些点不在平面α内；
平面α内任意一条直线都不与直线l平行．
其中真命题的个数是( d )
a．3 b．2
c．1 d．0
2．(2013·增城调研测试)给出三个命题：
若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行；
若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行；
若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行．
其中正确命题的个数是( b )
a．0 b．1
c．2 d．3
3．(2013·江西南昌调研)下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α，表示三个不同的平面。
若m⊥α，n∥α，则m⊥n; ②若α⊥γ则α∥β
若m∥α，n∥α，则m∥n; ④若α∥βm⊥α，则m⊥γ.
其中正确的命题是( )
a．①③b．②③
c．①④d．②④
解析：②反例：正方体共顶点的三个平面两两垂直，故为假命题．③m∥α，n∥α，m和n可能平行、相交或异面，故为假命题．所以①④为真命题，故选c.
答案：c4．(2013·成都第三次诊断)已知α，β是三个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是( )
a．若l⊥α，l∥β，则α∥β
b．若γ⊥α则α∥β
c．若l∥m，且lα，mβ，l∥β，m∥α，则α∥β
d．若l，m异面，且lα，mβ，l∥β，m∥α，则α∥β
解析：a选项中α∥β或α⊥βb选项中α∥β或α与β相交；c选项中α与β可能平行也可能相交，故d选项正确，关键在于l与m异面．
答案：d5．(2013·山东滨州质检)a、b、c为三条不重合的直线，α、为三个不重合平面，现给出六个命题。
a∥b ②a∥b ③α
α∥βa ⑥αa
其中正确的命题是( )
ab．①④c．①④d．①③
解析：①④正确，②错在a、b可能相交或异面．③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内．
答案：c6．下面四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab∥平面mnp的图形是( )
a．①②b．①④c．②③d．③④
解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出ab∥平面mnp.
答案：a二、填空题。
7．若α、β是两个相交平面，点a不在α内，也不在β内，则过点a且与α和β都平行的直线有且只有___条．
解析：据题意如图，要使过点a的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点a且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．
答案：18．设α、β为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩m，nγ，且___则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
α∥γnβ；②m∥γ，n∥β；n∥β，mγ.
答案：①或③
9．过三棱柱abc－a1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有___条．
解析：过三棱柱abc－a1b1c1的任意两条棱的中点作直线，记ac，bc，a1c1，b1c1的中点分别为e，f，e1，f1，则直线ef，e1f1，ee1，ff1，e1f，ef1均与平面abb1a1平行，故符合题意的直线共6条．
答案：6三、解答题。
11．如图所示，正方体abcd－a1b1c1d1中，m、n分别为a1b1、a1d1的中点，e、f分别为b1c1、c1d1的中点．
1)求证：四边形bdef是梯形；
2)求证：平面amn∥平面efdb.
13．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中m，n分别是ab，ac的中点，g是df上的一动点．
1)求该多面体的体积与表面积；
2)求证：gn⊥ac；
3)当fg＝gd时，在棱ad上确定一点p，使得gp∥平面fmc，并给出证明．
解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△adf中，ad⊥df，df＝ad＝dc＝a，所以该多面体的体积为a3.
表面积为a2×2＋a2＋a2＋a2＝(3＋)a2.
2)证明：连接db，fn，由四边形abcd为正方形，且n为ac的中点，知b，n，d三点共线，且ac⊥dn.
又∵fd⊥ad，fd⊥cd，ad∩cd＝d，fd⊥平面abcd.
ac平面abcd，∴fd⊥ac.
又dn∩fd＝d，∴ac⊥平面fdn.
又gn平面fdn，∴gn⊥ac.
3)点p与点a重合时，gp∥平面fmc.
取fc的中点h，连接gh，ga，mh.
g是df的中点，∴gh綊cd.
又m是ab的中点，∴am綊cd.
gh∥am且gh＝am.
四边形ghma是平行四边形．
ga∥mh.
mh平面fmc，ga平面fmc，ga∥平面fmc，即当点p与点a重合时，gp∥平面fmc.
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