1、在正四面体中，分别是棱的中点。
给出下面四个结论：①;
;④,其中所有不正确的结论的序号是。
2、如图，直线ab⊥平面bcd，∠bcd＝90°，则图中。
直角三角形为。
3、设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
若则∥；若则；
若∥，∥则；
若与相交且不垂直，则与不垂直。
其中，所有真命题的序号是 .①
4、已知l，m是两条不同的直线，α，是三个不同的平面，给出下列命题：
在上述命题中，所有真命题的序号为。
5、如图，在四棱锥p abcd中，已知底面abcd是矩形，ab 2，ad a，pd⊥平面abcd，若边ab上有且只有一点m，使得pm⊥cm，则实数a ． 1
6、已知α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，下列命题：
若m∥n，n∥α，则m若m⊥α，m⊥β，则α∥β
若α∩βn，m∥α，m∥β，则m∥n； ④若α⊥βm⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的有 ． 填写所有正确命题的序号)
7、设是球表面上的四个点，满足两两垂直，且，则球的表面积是 ．
8、a,b是平面外的两点，它们在平面内的射影分别是，若a1a＝3,bb1=5, a1b1=10，那么线段ab的长是。
9、如图，矩形abcd中，ab=1，bc=a，pa⊥平面abcd，若在bc上只有两个点q满足pq⊥dq，则a的取值范围是a>2
10、如图pa⊥⊙o所在平面，ab是⊙o的直径，c是⊙o上一点，e、f分别是点a在pb、pc上的射影，给出下列结论：①af⊥pb ②ef⊥pb ③af⊥bc ④ae⊥平面pbc，其中真命题的序号是。
11、在长方体abcd－a1b1c1d1中，ab＝bc＝3，aa1＝4，则异面直线ab1与 a1d所成的角的余弦值为。
12、p是△abc所在平面外一点；pb=pc=ab=ac，m是线段pa上一点，n是线段bc的中点，则∠mnb=__90°
13、已知e、f分别为棱长为a的正方体abcd－a1b1c1d1的棱bb1、b1c1的中点，则a1到ef的距离为。
14、已知△abc，点p是平面abc外一点，点o是点p在平面abc上的射影，（1）若点p 到△abc的三个顶点的距离相等，那么o点一定是△abc的2）若点p到△abc的三边所在直线的距离相等且o点在△abc内，那么o点一定是△abc的。
15、菱形abcd的对角线ac=，沿bd把面abd折起与面bcd成120°的二面角后，点a到面bcd的距离为___
16、在斜三棱柱abc－a1b1c1中，bb1＝ba＝bc＝1，∠b1bc＝60°，∠abc＝90°，平面bb1c1c⊥平面abc， m，n分别是bc的三等分点．
1）求证：a1n∥平面ab1m；
2）求证：ab⊥b1m；
3）求三棱锥a－b1bc的体积v．
1）连a1b交ab1于o，连om，则om为△a1bn的中位线．
om∥a1n2分。
a1n平面ab1m．
om平面ab1m．
a1n∥平面ab1m5分。
2）∵平面bb1c1c⊥平面abc，而∠abc＝90°，∴ab⊥bc．
ab平面abc，ab⊥平面bb1c1c8分。
b1m平面bb1c1c．
ab⊥b1m10分。
3）∵ab⊥平面bb1c1c，∴v＝．…14分。
17、如图，已知四边形abcd是矩形，ad⊥平面abe，ad = ae，点f**段de上，且af⊥平面bde．求证：
1）be⊥平面ade；
2）be∥平面afc；
3）平面afc⊥平面ade．
证明：（1）∵ad⊥平面abe，be平面abe，ad⊥be．
af⊥平面bde，be平面bde，∴af⊥be2分。
又af∩ad = a，∴be⊥平面ade4分。
2）设bd∩ac = g，则g为bd中点，连结fg．
af⊥平面bde，de平面bde，∴af⊥de6分。
又∵ae = ad，∴f为de中点．则fg∥be8分。
又be平面afc，fg平面afc，be∥平面afc10分。
3）∵be∥fg，而be⊥平面ade，∴fg⊥平面ade． …12分。
fg平面afc，平面afc⊥平面ade14分。
18、正三棱柱中，已知，为的中点，为与的交点。
求证： 平面；
若点为的中点，求证：∥平面。
19、如图，在四棱锥p abcd中，bc∥ad，dab = 90，ad = 2 bc，pb平面pad．
1）求证：ad 平面pab；
2）设点e在棱pa上，pc∥平面ebd，求的值．
证明：（1）∵pb 平面pad，ad平面pad，∴pb ad． …2分。
ab ad，ab ∩ pb = b，∴ad 平面pab5分。
2）连结ac交bd于点f，连结ef． …6分。
pc∥平面ebd，pc平面pac，平面ebd ∩ 平面pac = ef，pc∥ef9分。
bc∥ad，∴△adf ∽ cbf．
ad = 2 bc，∴．12分。
则14分。20、在直三棱柱abc a1b1c1中，ab ac aa1 3a，bc 2a，d是bc的中点，e，f分别是a1a，c1c上一点，且ae cf 2a．
1）求证：b1f⊥平面adf；
2）求证：be∥平面adf．
1）证明：∵ab ac，d为bc中点，ad⊥bc1分。
在直三棱柱abc a1b1c1中，b1b⊥底面abc，ad底面abc，ad⊥b1b2分。
bcb1b b，∴ad⊥平面b1bcc1．……3分。
b1f平面b1bcc1，∴ad⊥b1f4分。
在矩形b1bcc1中，c1f cd a，b1c1 cf 2a，rt△dcf ≌ rt△fc1b1．
∠cfd ∠c1b1f．∴∠b1fd 90°．
b1f⊥fd6分。
adfd d，∴b1f⊥平面afd7分
2）连ef，ec，设，连，，∴四边形aefc为矩形，∴m为中点． …10分。
d为中点12分。
平面，平面，平面14分。
21如图，在三棱锥p abc中，已知pa ab，为直角，pabc，点d，e分别为pb，bc的中点．
ⅰ）求证：ad平面pbc；
ⅱ）若f**段ac上，且，求证：ad∥平面pef．
22如图，已知ab⊥平面acd，de∥ab，△acd
是正三角形，ad = de = 2ab = 2，且f是cd
的中点．（1）求证：af∥平面bce；
（2）求证：平面bce⊥平面cde；
（3）求四面体bcef的体积．
证明：（1）取ec中点g，连bg，gf．
f是cd的中点，∴fg∥de，且fg =de．
又∵ab∥de，且ab =de．
四边形abgf为平行四边形．……3分。
af∥bg．又bg平面bce，af平面bce．
（条件每少一个扣1分，最多扣2分）
af∥平面bce5分。
2）∵ab 平面acd，af平面acd，ab af．∵ab∥de，∴af de6分。
又∵△acd为正三角形，∴af cd7分。
bg∥af，∴bg de，bg cd8分。
cd ∩ de = d，∴bg 平面cde9分。
直接用af∥bg，af平面cde，而得到bg 平面cde．扣1分）
∵bg平面bce，∴平面bce⊥平面cde11分
3）四面体bcef的体积。
14分 如图，正三棱柱abc—a1b1c1，bc=bb1=1，d为bc上一点，且满足ad⊥c1d.
i）求证：截面adc1⊥侧面bc1；
ii）求二面角c—ac1—d的正弦值；
iii）求直线a1b与截面adc1距离。
i）由题知：
4分。ii）
故∠cef为二面角c—ac1—d的平面角6分。
在rt△c1cd中，求出………8分。
iii）∥a1b
面ac1d，设b到面adc1距离为d10分。
………12分。
立体几何综合练习
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