1．(2011·浙江改编)若直线l不平行于平面α，且lα，则下列结论判断正确的为填序号)
α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l都相交．
2．以下命题中，正确的命题为填序号)
已知a、b、c、d是空间任意四点，则＋＋＋0；
若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底；
对空间任意一点o和不共线三点a、b、c，若＝x＋y＋z (其中x，y，z∈r)，则p、a、b、c四点共面．
3．过三棱柱abc—a1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有___条．
4．如图，ab为圆o的直径，点c在圆周上(异于点a，b)，直线pa垂直于圆o所在的平面，点m为线段pb的中点．有以下四个命题：
pa∥平面mob；②mo∥平面pac；③oc⊥平面pac；④平面pac⊥平面pbc.
其中正确的命题是___填上所有正确命题的序号)．
5．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：
m′⊥n′m⊥n；②m⊥nm′⊥n′；③m′与n′相交m与n相交或重合；④m′与n′平行m与n平行或重合．其中不正确的命题个数为___
6 ．过正方形abcd的顶点a，引pa⊥平面abcd.若pa＝ba，则平面abp和。
平面cdp所成的二面角的大小为___
7.如图，在直三棱柱abc－a1b1c1中，∠acb＝90°，aa1＝2，ac＝bc＝1，则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是___
8．在正三棱锥s—abc中，m、n分别是棱bc、sc的中点，且mn⊥an，若侧棱sa＝2，则正三棱锥s—abc外接球的表面积是___
9． 如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是60°，一个半径为1的球放在该支架上，则球心到p的距离为___
10．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及平面β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②αn⊥β；m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题填序号)．
11．如图，正方体abcd—a1b1c1d1中，ab＝2，点e为ad的中点，点f在cd上．若ef∥平面ab1c，则线段ef的长度为___
12.如图，在正三棱柱abc－a1b1c1中，d为棱aa1的中点，若截面△bc1d是面积。
为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为___
13．已知四棱锥p—abcd的底面abcd是矩形，pa⊥底面abcd，点e、f分别是棱pc、pd的中点，则。
棱ab与pd所在直线垂直②平面pbc与平面abcd垂直；
△pcd的面积大于△pab的面积；
直线ae与直线bf是异面直线．
以上结论正确的是写出所有正确结论的序号)
14.三棱锥s－abc中，∠sba＝∠sca＝90°，△abc是斜边ab＝a的。
等腰直角三角形，则以下结论中：
异面直线sb与ac所成的角为90°；
直线sb⊥平面abc；
平面sbc⊥平面sac；
点c到平面sab的距离是a. 其中正确结论的序号是___
15．如图，平面abcd⊥平面pad，△apd是直角三角形，∠apd＝90°，四边形abcd是直角梯形，其中bc∥ad，∠bad＝90°，ad＝2bc，o是ad的中点。
1)求证：cd∥平面pbo；
2)求证：平面pab⊥平面pcd.
16．如图，四棱锥p—abcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，点e**段ad上，且ce∥ab.
1)求证：ce⊥平面pad；
2)若pa＝ab＝1，ad＝3，cd＝，∠cda＝45°，求四棱锥p—abcd的体积．
17．如图所示，正方形abcd所在平面与三角形cde所在平面相交于cd，ae⊥平面cde，且ae＝3，ab＝6.(1)求证：ab⊥平面ade；
2)求凸多面体abcde的体积．
18.已知三棱锥p－abc中，pa⊥平面abc，ab⊥ac，pa＝ac＝ab，n为ab上一点，且ab＝4an，m，s分别为pb，bc的中点．
1)证明：cm⊥sn；
2)求sn与平面cmn所成角的大小．
19．如图所示，正三棱柱abc—a1b1c1的侧面是边长为2的正方形，d、e分别是bb1、ac的中点．
1)求证：be∥平面a1cd；
2)求二面角c—a1d—c1的余弦值．
20．如图，在五面体abcdef中，fa⊥平面abcd，ad∥bc∥fe，ab⊥ad，m为ec的中点，af＝ab＝bc＝fe＝ad.
1)求异面直线bf与de所成的角的大小；
2)证明：平面amd⊥平面cde；
3)求二面角a－cd－e的余弦值．答案。
9. 10．①③或②③④11. 12．8 13．①③
1．证明 (1)∵ad＝2bc，且o是ad中点，od＝bc，又ad∥bc，od∥bc，四边形bcdo为平行四边形，cd∥bo，cd平面pbo，且bo平面pbo，故cd∥平面pbo.
2)∵∠bad＝90°，∴ba⊥ad，又平面pad⊥平面abcd，且平面pad∩平面abcd＝ad，ab平面abcd，ab⊥平面pad，pd平面pad，ab⊥pd.
ap⊥pd，ab∩ap＝a，pd⊥平面pab，又∵pd平面pcd，故平面pab⊥平面pcd.
2．(1)证明因为pa⊥平面abcd，ce平面abcd，所以pa⊥ce.
因为ab⊥ad，ce∥ab，所以ce⊥ad.
又pa∩ad＝a，所以ce⊥平面pad.
2)解由(1)可知ce⊥ad.
在rt△ecd中，de＝cd·cos 45°＝1，ce＝cd·sin 45°＝1.
所以ae＝ad－ed＝2.
又因为ab＝ce＝1，ab∥ce，所以四边形abce为矩形．
所以s四边形abcd＝s矩形abce＋s△ecd＝ab·ae＋ce·de＝1×2＋×1×1＝.
又pa⊥平面abcd，pa＝1，所以v四棱锥p—abcd＝s四边形abcd·pa＝××1＝.
3．解 (1)∵ae⊥平面cde，cd平面cde，ae⊥cd.
在正方形abcd中，cd⊥ad，ad∩ae＝a，∴cd⊥平面ade.
ab∥cd，ab⊥平面ade.
2)在rt△ade中，ae＝3，ad＝6，de＝＝3.
连接bd，则凸多面体abcde被分割为三棱锥b—cde和三棱锥b—ade.
由(1)知，cd⊥de.
s△cde＝×cd×de＝×6×3＝9.
又ab∥cd，ab平面cde，cd平面cde，ab∥平面cde.
点b到平面cde的距离为ae的长度．
vb—cde＝s△cde·ae＝×9×3＝9.
ab⊥平面ade，vb—ade＝s△ade·ab＝××6＝9.
vabcde＝vb—cde＋vb—ade＝9＋9＝18.
故所求凸多面体abcde的体积为18.
1)证明设pa＝1，以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m(1,0，)，n(，0,0)，s(1，，0)．
所以＝(1，－1，)，0)．
因为·＝－0＝0，所以cm⊥sn.
2)解 ＝(1,0)，设a＝(x，y，z)为平面cmn的一个法向量，则。
即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因为|cos〈a，〉|所以sn与平面cmn所成的角为45°.
5．(1)证明由题意，可知正三棱柱abc—a1b1c1的所有棱长都等于2.
△abc是边长为2的正三角形，且ae＝ec.
be⊥ac，且be＝ac＝.
又∵平面abc⊥平面acc1a1，平面abc∩平面acc1a1＝ac，be⊥平面acc1a1.
取a1c1的中点f，连接ef，则在正方形acc1a1中，ef⊥ac.
以e为坐标原点，直线ea、ef、eb分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则e(0,0,0)，b(0,0，)，a(1,0,0)，c(－1,0,0)，a1(1,2,0)，c1(－1,2,0)，d(0,1，)．
则＝(0,0，)，2,2,0)，(2，－2,0)，＝1,1，)．
设＝m＋n，则有解得。
即＝＋.根据向量共面定理，可知与、共面．
又∵a1c∩cd＝c，eb平面a1cd，be∥平面a1cd.
2)解设平面a1cd的法向量n＝(x，y，z)．由得。即。
令x＝1，则y＝－1，z＝0.
n＝(1，－1,0)是平面a1cd的一个法向量．
设平面c1a1d的法向量m＝(x1，y1，z1)．
而＝(－2,0,0)，＝1，－1，)．
由得。即令z1＝1，得y1＝.
m＝(0，，1)是平面c1a1d的一个法向量．
故cos〈m，n〉＝
设二面角c—a1d—c1的平面角为θ，由图可知，∈，故cos θ＝cos〈m，n〉＝－
6．方法一
1)解由题设知，bf∥ce，所以∠ced(或其补角)为异面直线bf与de所成的角．设p为ad的中点，连接ep，pc.因为fe綊ap，所以fa綊ep.同理，ab綊pc.
又fa⊥平面abcd，所以ep⊥平面abcd.而pc、ad都在平面abcd内，故ep⊥pc，ep⊥ad.由ab⊥ad，可得pc⊥ad.
设fa＝a，则ep＝pc＝pd＝a，cd＝de＝ec＝a，故∠ced＝60°.
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