立体几何复习

一、选择题。

1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )

a．球的三视图总是三个全等的圆。

b．正方体的三视图总是三个全等的正方形。

c．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形。

d．水平放置的圆台的俯视图是一个圆。

解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．

答案 a2．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为( )

a．上面为棱台，下面为棱柱。

b．上面为圆台，下面为棱柱。

c．上面为圆台，下面为圆柱。

d．上面为棱台，下面为圆柱。

解析结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱．

答案 c3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

abcd．②④

解析正方体的三视图都是正方形，不合题意；

圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；

三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；

正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．

答案 d4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )

a. a2 b．2a2

c. a2 d. a2

解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积s与它的直观图的面积s′之间的关系是s′＝s，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于＝2a2.故选b.

答案 b5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为( )

解析被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项d符合．

答案 d二、填空题。

6．利用斜二测画法得到的：

①三角形的直观图一定是三角形；

②正方形的直观图一定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图一定是菱形．

以上结论正确的个数是___

解析由斜二测画法的规则可知①正确；

错误，是一般的平行四边形；

错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；

而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．

答案 17．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别。

如图所示，则该几何体的俯视图为___

解析由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.

答案 ③8．利用斜二测画法得到的：

①三角形的直观图一定是三角形；

②正方形的直观图一定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图一定是菱形．

以上结论正确的个数是___

解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．

答案 1三、解答题。

9．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为。

1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．

解抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为1∶16，设半径分别为r、4r.

设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.根据相似三角形的性质得＝，解得l＝9.所以，圆台的母线长为9 cm.

10．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？

解如图所示，正四棱锥sabcd中，高os＝，侧棱sa＝sb＝sc＝sd＝，在rt△soa中，oa＝＝2，∴ac＝4.

∴ab＝bc＝cd＝da＝2.

作oe⊥ab于e，则e为ab中点．

连接se，则se即为斜高，在rt△soe中，∵oe＝bc＝，so＝，∴se＝，即侧面上的斜高为。

一、选择题。

1．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可能是( )

解析当俯视图为a中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为b中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为c中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为。

答案 c2．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为( )

解析这个空间几何体的直观图如图所示，由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是，故其侧视图只可能是选项b中的图形．

答案 b二、填空题。

3．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___

解析 (构造法)由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥c1abcd)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即ac1.由正方体棱长ab＝2知最长棱ac1的长为2.

答案 24．如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由___块木块堆成．

解析根据题意可知，几何体的最底层有4块长方体，第2层有1块长方体，一共5块．

答案 5三、解答题。

5．如图所示，直观图四边形a′b′c′d′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，求原平面图形的面积．

解把直观图还原为平面图形得：

直角梯形abcd中，ab＝2，bc＝＋1，ad＝1，∴面积为(2＋)×2＝2＋.

6．如图是一个几何体的正视图和俯视图．

(1)试判断该几何体是什么几何体；

2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．

解 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．

(2)该几何体的侧视图，如图．

其中ab＝ac，ad⊥bc，且bc的长是俯视图正六边形对边间的距离，即bc＝a，ad是正棱锥的高，则ad＝a，所以该平面图形(侧视图)的面积为s＝×a×a＝a2.

7．一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．

解如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm，则oc＝x，∴＝解得x＝120(3－2)，正方体的棱长为120(3－2) cm.

练习。一、选择题。

1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是。

a．①②b．①③c．①④d．②④

解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的主视图和左视图都是等腰三角。

形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的主视图和左视图、俯视图各不相同，不合题意；

正四棱锥的主视图和左视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正。

确．答案：d

2．利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行。

四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是。

a．①②b．① c．③④d．①②

解析：因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确；对于③④，只有平。

行于x轴的线段长度不变，所以不正确．

答案：a3．已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，正视图和侧视图都是矩。

形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是。

如下各种几何图形的4个顶点，这些几何图形是。

矩形 ②不是矩形的平行四边形。

有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体

每个面都是等腰三角形的四面体 ⑤每个面都是直角三角形的四面体。

a．①③b．②③c．④⑤d．③④

解析：由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体．由下图可知， ①可能，②不可。

能，③④都有可能．

答案：a4．下列物体中的正视图和俯视图(如图)中有错误的一项是。

解析：将看不见的部分用虚线标出．

答案：d5．(2010·广东理，6)如图，△abc为正三角形，aa′∥bb′∥cc′，cc′

平面abc且3aa′＝bb′＝cc′＝ab，则多面体abc—a′b′c′

的正视图(也称主视图)是。

答案：d6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不。

可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的。

是。a．①②b．②③c．③④d．①④

答案：b7．(2010·福建理，6)如图，若ω是长方体abcd—a1b1c1d1被平面。

efgh截去几何体efghb1c1后得到的几何体，其中e为线段。

a1b1上异于b1的点，f为线段bb1上异于b1的点，且eh∥a1d1，则下列结论中不正确的是。

a．eh∥fg b．四边形efgh是矩形。

c．ω是棱柱 d．ω是棱台。

解析：可以利用线面平行的判定定理和性质定理证明eh綊b1c1綊fg，则a、b、c正。

确，故选d.

答案：d二、填空题。

8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体。

的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___

解析：由三视图可知多面体为如图所示的三棱锥，其中sa最长，sa＝＝2.

答案：29．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是。

直角梯形(如图)，∠abc＝45°，ab＝ad＝1，dc⊥bc，则这块菜。

地的面积为___

解析：dc＝absin 45°＝，bc＝absin 45°＋ad＝＋1，s梯形abcd＝(ad＋bc)dc＝

＋，s＝s梯形abcd＝2＋.

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