高中立体几何主要研究了两个问题，一是空间点线面的特殊位置关系；二是空间几何体的面积、体积和空间角度与距离的计算问题。点线面的位置关系是立体几何研究的重点，平行和垂直关系是其中最为重要的两种特殊位置关系，判定和性质定理需要形成体系。而空间的角度和距离则重点是应用向量的方法解决的。
1．设表示直线，表示平面。已知下列命题：
(1) ，则。
(2) 则。
(3) 若垂直于平面内的无数条直线，则。
(4) 若则。
(5) 若，则；
(6) 则必有。
其中是真命题的为。
解析：（1）假命题。三条直线两两相交可能只有一个公共点，此时不共面。
（2）假命题。若与直线交于一点，则共面。
（3）假命题。注意区分“无数条直线”与“所有的直线”的不同。
（4）假命题，异面直线不一定垂直。
（5）真命题，因为，所以，又，所以。
（6）假命题。不一定在平面内。
所以应填（5）.
2．对于四面体abcd，下列命题正确的是___写出所有正确命题的编号）。
1．相对棱ab与cd所在的直线异面；
2．由顶点a作四面体的高，其垂是bcd的三条高线的交点；
3．若分别作abc和abd的边ab上的高，则这两条高所在直线异面；
4．分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
5．最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
解析：本题主要考查了四面体中的线线、线面的关系。结合图形，运用运动的观点构造反例。
①正确。否则，ab与cd共面，那么abcd为平面图形，不能是四面体的四个顶点。2错误。
若垂足是bcd的高线的交点，那么应有对棱垂直；3错误，当ac=bc且ad=bd时，两条高共面；④正确，如图所示，四边形efgh、nfmh均为平行四边形，所以eg、ｈｆ交于ｈｆ中点ｏ，ｍ交于ｈｆ的中点，即ｍｎ经过ｈｆ的中点，所以三线共点．⑤正确。 不妨设ac为最长棱，若过a、c两顶点的棱都不满足条件，即，则，又在△abc与△acd中，有，所以。矛盾，所以必存在某端点满足条件．
注：本题属于难度高的题目，要针对每一个命题进行判断，正确的要能证明，错误的要能举出反例。举反例时多从特殊图形出发。
3．已知：正三棱柱abc—a1b1c1中，ab1⊥bc1.分别是的中点。
（1）求证：平面平面。（2）求证：a1c⊥ab1；
解析：（1）只需证明平面内的两条相交直线平行于平面的两条相交直线，考虑到，再找一组即可。(2)证明ab1平面即可。
证明：（1）连交于f.在正三棱柱中，四边形四边形均为矩形，从而，所以。又分别是的中点，所以，所以四边形为平行四边形，从而，因为平面，平面，，因为平面，平面，，所以平面平面。
（2）法一：取a1b1中点d，ab中点e，连结c1d，db，ce，a1e.
在正三棱柱abc—a1b1c1中。
∵d是a1b1中点，∴c1d⊥a1b1
∵平面a1b1c1⊥平面a1abb1 ∴c1d⊥平面a1abb1
∵a1b⊥bc1 ∴db⊥ab1
∵e是ab中点，同理可证ce⊥平面a1abb1
∵a1d∥eb且a1d=eb ∴四边形a1ebd是平行四边形，∴a1e∥db
∵db⊥ab1 ∴a1e⊥ab1 ∴a1c⊥ab1.
注：立体几何中，证明线线垂直通常是证明一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面。因此证明的关键就是找出相应的平面。可结合题中已知条件与待证结论利用分析法进行尝试。
4．已知：正方体abcd—a1b1c1d1中，e、f、g是a1a，cd，bc的中点。是正方形的中心。（1）求证：平面；（2）求证：平面bef⊥平面dgc1.
解析：（1）只需要证明中的任意两个即可。可利用线面垂直的性质证明。
（2）只需证明平面bef经过平面dgc1的垂线（或平面dgc1经过平面bef的垂线），根据图中的条件，可知平面dgc1.
证明：（1）如图1取ab、ad的中点m，n.在正方体abcd—a1b1c1d1中，有平面。
而平面。所以。在正方形中，e、m均为中点，所以，又，所以平面，所以，同理有，又，所以平面。
（2）法一：如图2，取d1d中点h，连结eh，hf
∵e，h，f是a1a，d1d，dc中点，∴eh⊥平面d1dcc1，hf⊥dc1
∵hf是ef在平面d1dcc1上的射影，∴ef⊥dc1.
连结af，在△adf和△dcg中。
ad=dc，∠adf=∠dcg=90°，df=gc
adf≌△dcg ∴∠daf=∠gdc
adg+∠gdc=90°，∴daf+∠adg=90°，∴af⊥dg
∵ea⊥平面abcd，af是ef在平面abcd上的射影，∴ef⊥dg
∵dc1∩dg=d ∴ef⊥平面dgc1
∵ef平面bef，∴平面bef⊥平面dgc1.
注：本题图中的线比较多，要善于提取对解决某个问题有帮助的图形。面面垂直的证明通常就是证明一个平面经过另一个平面的垂线。
要充分利用直棱柱、正棱柱等隐含的面的垂线。利用向量证明两个平面垂直时，只需证两个平面的法向量垂直即数量积等于0即可。
．如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且。
（1）求证：平面；
（2）是否存在点使得面面？并说明理由。
解析：根据第（1）问可知，平面；因此必有，欲使得面面，只需即可。
（1）∵pa⊥底面abc，∴pa⊥bc.又，∴ac⊥bc.∴bc⊥平面pac.
（2）∵de//bc，又由（ⅰ）知，bc⊥平面pac，∴de⊥平面pac，又∵ae平面pac，pe平面pac，∴de⊥ae，de⊥pe，∴∠aep为二面角的平面角，∵pa⊥底面abc，∴pa⊥ac，∴.
∴在棱pc上存在一点e，使得ae⊥pc，这时，故存在点e使得二面角是直二面角。
注：立体几何中的开放性问题通常就是利用分析法获得结论，大胆假设，小心求证即可。
6．如图，在四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，ac⊥cd，∠abc=600，pa=ab=bc，e是pc的中点。
（1）证明ae⊥cd；
（2）证明：pd⊥平面abe。
解答：（1）∵ab、ad、ap两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设pa=ab=bc=1，则p（0，0，1）。
7．如图，在三棱锥中，，，
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
解析：（1），，又，．，平面．平面，．
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．
设．，取中点，连结．
是二面角的平面角．
二面角的大小为．
（3），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．如（2）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．
点到平面的距离为．
8．如图，四棱锥中，⊥底面，⊥．底面为梯形，，.点在棱上，且．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求证：∥平面；
（3）求二面角的大小．
证明：（1）∵pa⊥底面abcd，∴．
又ab⊥bc，平面． 又平面，∴平面⊥平面．
（2）∵pa⊥底面abcd，∴ac为pc在平面abcd内的射影．
又∵pc⊥ad，∴ac⊥ad． 在梯形中，由ab⊥bc，ab=bc，得，又ac⊥ad，故为等腰直角三角形．
连接，交于点，则
在中，，∴又pd平面eac，em平面eac，∴pd∥平面eac．
（3）在等腰直角中，取中点，连结，则．
∵平面⊥平面，且平面平面=，在平面内，过作直线于，连结，由于是在平面内的射影，故．
∴就是二面角a—ce—p的平面角．
在中，设，则，由，可知：∽，代入解得：．
在中，， 即二面角a—ce—p的大小为．
解法二：（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．
设，则，设，则。
解得：．．连结，交于点，
则。 在中，又pd平面eac，em平面eac，pd∥平面eac．
（3）设为平面的一个法向量，则，解得：，∴
设为平面的一个法向量，则，又，，∴
解得：，∴二面角a—ce—p的大小为．
或：以ad、ac、pa分别为x,y,z轴建立坐标系。
则a（0，0，0），d，注：求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。而用向量法求解时，只需利用公式。
通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。求二面角时，可以利用法向量。
9．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切。 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3．
解析：设四个实心铁球的球心为o1，o2，o3，o4，其中o1，o2为下层两球的球心，a，b，c，d分别为四个球心在底面的射影．则abcd是一个边长为的正方形。所以注水高为1＋．故应注水π(1＋)－4×π(3＝(＋
10．顶点为p的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，a是底面圆周上的点，b是底面圆内的点，o为底面圆圆心，ab⊥ob，垂足为b，oh⊥pb，垂足为h，且pa=4，c为pa的中点，则当三棱锥o－hpc的体积最大时，ob的长为 (
解析：ab⊥ob，pb⊥ab，ab⊥面pob，面pab⊥面pob．
oh⊥pb，oh⊥面pab，oh⊥hc，oh⊥pc，又，pc⊥oc，pc⊥面och．pc是三棱锥p－och的高．pc=oc=2．
而doch的面积在oh=hc=时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．
当oh=时，由po=2，知∠opb=30°，ob=potan30°=．
又解：连线如图，由c为pa中点，故vo－pbc=vb－aop，而vo－phc∶vo－pbc==(po2=ph·pb)．
记po=oa=2=r，∠aob=a，则。
∴ 令，∴，选d．
11．已知正方体abcd—a1b1c1d1的棱长为1，以顶点a为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。
解析：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点a所在的三个面上，即面aa1b1b、面abcd和面aa1d1d上；另一类在不过顶点a的三个面上，即面bb1c1c、面cc1d1d和面a1b1c1d1上。
在面aa1b1b上，交线为弧ef且在过球心a的大圆上，因为，aa1=1，则。同理，所以，故弧ef的长为，而这样的弧共有三条。在面bb1c1c上，交线为弧fg且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为b，半径为，，所以弧fg的长为。
这样的弧也有三条。
于是，所得的曲线长为。
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