1. 空间点、线、面之间的关系。
典型例题:1.(2024年高考湖南卷)平行六面体abcd-a1b1c1d1中,既与ab共面也与cc1共面的棱的条数为( )
a.3b.4
c.5d.6
2.如图,正方体abcd-a1b1c1d1中,m、n分别为棱c1d1、c1c的中点,有以下四个结论:
直线am与cc1是相交直线;
直线am与bn是平行直线;
直线bn与mb1是异面直线;
直线am与dd1是异面直线.
其中正确的结论为 (注:把你认为正确的结论的序号都填上).
练习:1.给出下列命题:
若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,那么c至多与a、b中的一条相交;②若直线a与b异面,直线b与c异面,则直线a与c异面;③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行.其中正确的命题为( )
ab.②cd.①③
2.下列命题中正确的有几个( )
若△abc在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于p、q、r,则p、q、r三点共线;
若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于a、b、c三点,则这四条直线共面;
空间中不共面五个点一定能确定10个平面.
a.0个b.1个。
c.2个d.3个。
2. 平行关系。
典型例题。1.(2024年高考福建卷)设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内的两条相交直线.则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
a.m∥β且l1b.m∥l1且n∥l2
c.m∥β且nd.m∥β且n∥l2
2.(2024年启东中学质检)已知m、n是不重合的直线,α、是不重合的平面,有下列命题:
若mα,n∥α,则m∥n;
若m∥α,m∥β,则α∥β
若α∩βn,m∥n,则m∥α且m∥β;
若m⊥α,m⊥β,则α∥β
其中真命题的个数是( )
a.0b.1
c.2d.3
3.如图所示,在三棱柱abc-a1b1c1中,d点为棱ab的中点.
求证:ac1∥平面cdb1.
练习:1.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线只和这个平面内的( )
a.一条直线不相交 b.两条相交直线不相交。
c.无数条直线不相交 d.任意一条直线都不相交。
2.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β的三个命题:
若l与m为异面直线,lα,mβ,则α∥β
若α∥βlα,mβ,则l∥m;
若α∩βl,β∩m,γ∩n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
a.3 b.2
c.1 d.0
3.如图,abcd-a1b1c1d1为正方体,下面结论错误的是( )
a.bd∥平面cb1d1
b.ac1⊥bd
c.ac1⊥平面cb1d1
d.异面直线ad与cb1所成的角为60°
4.如图边长为a的等边三角形abc的中线af与中位线de交于点g,已知△a′de是△ade绕de旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( )
动点a′在平面abc上的射影**段af上;
bc∥平面a′de;
三棱锥a′-fed的体积有最大值.
ab.①②cd.②③
3. 垂直关系。
典型例题:垂直于正方形abcd所在平面,连结pb,pc,pd,ac,bd,则下列垂直关系正确的是( )
面pab⊥面pbc ②面pab⊥面pad
面pab⊥面pcd ④面pab⊥面pac
ab.①③cd.②④
2.设a、b、c表示三条直线,α、表示两个平面,则下列命题的逆命题不成立的是( )
a.c⊥α,若c⊥β,则α∥β
b.bα,cα,若c∥α,则b∥c
c.bβ,若b⊥α,则β⊥α
d.bβ,c是a在β内的射影,若b⊥c,则b⊥a
3.已知a、b是两条不重合的直线,α、是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
若a⊥α,a⊥β,则α∥β
若α⊥γ则α∥β
若α∥βaα,bβ,则a∥b;
若α∥βa,β∩b,则a∥b.
其中正确命题的序号有___
4.(2024年高考江苏卷)如图,在四面体abcd中,cb=cd,ad⊥bd,点e、f分别是ab、bd的中点,求证:
1)直线ef∥平面acd;
2)平面efc⊥平面bcd.
练习:1.若m,n是两条不同的直线,α,是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的是( )
a.若mβ,α则m⊥α
b.若α∩γm,β∩n,m∥n,则α∥β
c.若α⊥γ则β∥γ
d.若m⊥β,m∥α,则α⊥β
2.在正四面体p-abc中,d、e、f分别是ab、bc、ca的中点,下面四个结论中不成立的是( )
a.bc∥平面pdf
b.df⊥平面pae
c.平面pdf⊥平面abc
d.平面pae⊥平面abc
3.(2024年南京模拟)如图,已知矩形abcd中,ab=10,bc=6,沿矩形的对角线bd把△abd折起,使a移到a1点,且a1在平面bcd上的射影o恰好在cd上.
求证:(1)bc⊥a1d;
2)平面a1bc⊥平面a1bd.
4.如图所示,△abc是正三角形,ae和cd都垂直于平面abc,且ae=ab=2a,cd=a,f是be的中点.
1)求证:df∥平面abc;
2)求证:af⊥bd.
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