立体几何1

第一章 1.1.3

一、选择题。

1．下列说法中正确的个数是( )

半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；

空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；

球面和球是同一个概念；

经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．

a．1b．2

c．3 d．4

答案] a解析] 半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误．

2．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，两底面间的距离为( )

a．4 b．3

c．2 d．2

答案] d解析] 由题意，得圆台上、下底面半径分别为6和7，在圆台的轴截面等腰梯形中，易求得两底面距离d＝＝2.

3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是( )

a．圆锥 b．圆柱。

c．球体 d．以上都可能。

答案] b解析] 球体被任何平面所截得的截面均为圆面；对圆锥，截面不能为四边形；对于圆柱，当截面过两条母线时，得到四边形．

4．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是( )

答案] d解析] 过球心与正方体的对角面时为b，过球心与正方体一组平行棱的中点时为c，过球心及一组平行棱的位于顶点和中点之间的某种分点时为a，∴不可能为d.

5．在地球北纬60°圈上有a、b两点，它们的经度相差180°，a、b两地沿纬线圈的弧长与a、b两点的球面距离之比为( )

a．3 2b．2 3

c．1 3 d．3 1

答案] a解析] 本题主要考查球面距离的求法，求球心角是求球面距离的关键．

由题知∠oab＝60°，∴aob＝60°，o1a＝.

ab两地的球面距离是l1＝πr＝πr.

而ab两地纬线圈的弧长为小圆的半个圆周，l2＝π·r.∴l2 l1＝πr πr＝3 2.

6．(2015·山东商河弘德中学高一月考)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )

a．一个圆台、两个圆锥 b．两个圆台、一个圆柱。

c．两个圆台、一个圆锥 d．一个圆柱、两个圆锥。

答案] d解析] 如图，等腰梯形abcd，绕梯形较长的底边ab所在的直线旋转一周，所得的几何体是如图所示的一个圆柱、两个圆锥．

二、填空题。

7．给出下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．其中正确说法的序号是___

答案] ②解析] 作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．

8．已知圆柱的底面半径是20 cm，高是15 cm，则平行于圆柱的轴且与此轴相距12 cm的截面面积是___

答案] 480cm2

解析] 设所求截面的底边长为x，则2＝202－122，解得x＝32，∴s截＝32×15＝480cm2.

三、解答题。

9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

1)圆台的高；

2)截得此圆台的圆锥的母线长．

解析] (1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形abcd，由已知可得上底的一半o1a＝2 cm，下底的一半ob＝5 cm.∵腰长为12 cm，高为am＝

3 (cm)．

2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△sao1∽△sbo，可得＝，∴l＝20(cm)．

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

一、选择题。

1．下列命题中，错误的是( )

a．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的。

b．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的。

c．圆台的轴截面一定是等腰梯形。

d．圆锥的轴截面是全等的等腰三角形。

答案] b解析] 当圆锥的轴截面的顶角是锐角或直角时，轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的，当轴截面的顶角是钝角时，轴截面的面积小于过顶点且顶角为直角的截面面积，故选b.

2．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是( )

a．1 b．7

c．3或4 d．1或7

答案] d解析] 如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则cd＝－＝1.

如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则cd＝＋＝7.

3．以钝角三角形的最小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )

a．两个圆锥拼接而成的组合体。

b．一个圆台。

c．一个圆锥。

d．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥。

答案] d解析] 如图，以ab为轴，所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．

4．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为( )

a．4 b．3

c．2.5 d．2

答案] b解析] 设截面圆半径为r，则πr2＝16π，∴r＝4.球心到截面的距离为d＝＝＝3.

二、填空题。

5．过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π cm2，则球的半径为___

答案] 8 cm

解析] 如图，过球心作垂直于截面的平面，由截面面积为48π cm2，可得ac＝4 cm ，设oa＝r，则oc＝r，r2－2＝(4)2，解得r＝8(cm)．

6．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是___填序号)．

答案] ①解析] 组合体的上底面已经挖去，故②错．当截面不过轴时，与圆锥的截线不可能是直线，故③④错．

三、解答题。

7．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．

解析] 如图所示，作出等边圆柱的轴截面abcd.由题意知，四边形abcd为正方形．设圆柱的底面半径为r，则ab＝ad＝2r.

其面积s＝ab×ad＝2r×2r＝4r2＝16(cm2)，解得r＝2 cm.

所以其底面周长c＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高2r＝4 cm.

8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．

解析] 圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm、3x cm，延长aa1交oo1的延长线于s.

在rt△soa中，∠aso＝45°，则∠sao＝45°，so＝ao＝3x，∴oo1＝2x.

s轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7.

故圆台的高oo1＝14 cm，母线长a1a＝oo1＝14 cm，两底面半径分别为7 cm、21 cm.

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