立体几何小结（向量方法）
向量平面，平面的法向量。
一、 向量法证明垂直和平行的条件。
1. 垂直。
线线垂直：线面垂直：
面面垂直：
2. 平行。
线线平行：线面平行：
面面平行：
二、 角度。
1.异面直线所成的角：
2.线面角：直线与平面所成角， (为平面的法向量).
3.二面角：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（指向二面角同侧，则为补角，指向异侧，则为其夹角）.
三、 距离。
求距离的重点在点到平面的距离和异面直线间的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离均可以转化成点到平面的距离。
1. 空间两点的距离公式：.
2.点到面的距离：
点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
3. 异面直线间的距离：
公垂线：与两直线都垂直的直线。 公垂向量：公垂线所在的向量。
异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
立体几何小结（综合法）
四、 证明垂直和平行的条件。
1.垂直。线面垂直：垂直于平面内两条相交直线。
面面垂直：（1）（2）二面角为直二面角。
2.平行。线面平行：
面面平行：
五、 角度。
1.异面直线所成的角：平移直线使两条直线在一平面内，方法：（1）直接平移；（2）补形法（3）中位线平移。
2.线面角：直线，与平面所成角，（1）求b到距离d,则，2)做出线面角：作面的垂线，关键找垂足。
3.二面角：
直接法：（1）定义法：条件中有等腰三角形或直角三角形。
2）三垂线定理：过一个面内一点作另一面的垂线，条件中哪个面有垂面向哪个面作垂线。
3）垂面法：找两平面共同的垂面，垂面与两平面的交线成的角为所求。
4）面积射影定理：
六、 距离。
点到面的距离：（1）等体积法求距离（2）作垂线，求垂线段的长度。
典型例题。例1］在棱长为a的正方体abcd—a′b′c′d′中，e、f分别是bc、a′d′的中点。
1)求证：四边形b′edf是菱形； (2)求直线a′c与de所成的角；
3)求直线ad与平面b′edf所成的角；(4)求面b′edf与面abcd所成的角。
例2]如图，四棱锥s-abcd中，sd底面abcd，ab//dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc .
ⅰ）证明：se=2eb；（ⅱ求二面角a-de-c的大小 .
例3].如图，四棱锥的底面是正方形，，点e在棱pb上。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）当且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小。
1.（2007全国）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，
ⅰ）证明；（ⅱ求直线与平面所成角的大小．
ⅱⅰ）求点a到面scd的距离．
2.（2010全国卷1理数）如图，四棱锥s-abcd中，sd底面abcd，ab//dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc .
ⅰ）证明：se=2eb；（ⅱ求二面角a-de-c的大小 .
3.（2010重庆文数）如题图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点。（ⅰ证明：平面；（ⅱ若，求二面角的平面角的余弦值。
4（2010湖北）如图，在四面体aboc中，oc⊥oa。oc⊥ob，∠aob=120°，且oa=ob=oc=1
ⅰ）设p为ac的中点，q在ab上且ab=3aq，证明：pq⊥oa；
ⅱ）求二面角o-ac-b的平面角的余弦值。
5.（2010江苏卷）如图，在四棱锥p-abcd中，pd⊥平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，ab∥dc，∠bcd=900。求证：
pc⊥bc；求点a到平面pbc的距离。
6.（2010浙江文数）平行四边形abcd中，ab=2bc，∠abc=120°。e为ab中点，△ade沿直线de翻折成△a’de，使面a’de⊥面bcd，f为线段a’c的中点。
ⅰ）求证：bf∥平面a’de；
ⅱ）m为de的中点，求直线fm与面a’de所成角的余弦值。
7.（2011高考）如图，四棱锥s-abcd中，,侧面sab为等边三角形，ab=bc=2，cd=sd=1
（ⅰ）证明：;（求ab与平面sbc所成的角的大小。
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