2024年07月01日叶的高中数学组卷。
一．解答题（共30小题）
1．如图，四边形abcd为矩形，ad⊥平面abe，∠aeb=90°，f为ce上的点．
ⅰ）求证：ad∥平面bce；
ⅱ）求证：ae⊥bf．
2．如图，斜三棱柱abc﹣a1b1c1中，侧面aa1c1c是菱形，ac1与a1c交于点o，e是ab的中点．求证：
1）oe∥平面bcc1b1；
2）若ac1⊥a1b，求证：ac1⊥bc．
3．如图，在底面为平行四边形的四棱锥p﹣abcd中，ab⊥ac，pa⊥平面abcd，点e是pd的中点．
ⅰ）求证：pb∥平面aec；
ⅱ）求证：ac⊥pb．
4．已知，如图，四边形abcd是平行四边形，点e是线段ab的中点，ac∩bd=o，点p是平面abcd外一点，pa=pc，pb=pd，bd⊥eo．
求证：（ⅰeo∥平面pbc．
ⅱ）bc⊥平面pbd．
5．如图，在四棱锥p﹣abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，pa=ad，e为pd中点．
ⅰ）证明：ab∥平面pcd；
ⅱ）证明：ae⊥平面pcd．
6．在三棱柱abc﹣a1b1c1中，已知平面bb1c1c⊥平面abc，ab=ac，d是bc中点，且b1d⊥bc1．
ⅰ）证明：a1c∥平面b1ad；
ⅱ）证明bc1⊥平面b1ad．
7．如图，在四棱锥中，底面abcd为矩形，pa⊥底面abcd，m、n分别是ab、pc中点．
ⅰ）求证：mn∥平面pad；
ⅱ）求证：ab⊥mn．
8．四棱锥p﹣abcd的底面abcd是平行四边形，m、n分别是ab、pc的中点．
ⅰ）证明：mn∥平面pad．
ⅱ）若cm=pm，mn⊥ab，证明：平面pad⊥平面pdc．
9．已知直三棱柱abc﹣a1b1c1的底面△abc中，∠c=90°，bc=，bb1=2，o是ab1的中点，d是ac的中点，m是cc1的中点，1）证明：od∥平面bb1c1c；
2）试证：bm⊥ab1．
10．如图，三棱锥a﹣bcd被一平面所截，截面为平行四边形efgh，求证：（1）hg∥平面acd； （2）cd∥ef．
11．如图，正三棱柱abc﹣a1b1c1中，，点d为a1c1的中点．
i）求证：bc1∥平面ab1d；
ii）求证：a1c⊥平面ab1d；
ⅲ）求异面直线ad与bc1所成角的大小．
12.如图，在直三棱柱abc﹣a1b1c1中，ac=3，ab=5，bc=4，点d是ab的中点，1）求证：平面acc1⊥平面bcc1；
2）求证：ac1∥平面cdb1．
13．在直三棱柱abc﹣a1b1c1中，ab⊥bc，d为棱cc1上任一点．
1）求证：直线a1b1∥平面abd；
2）求证：平面abd⊥平面bcc1b1．
14．如图，在四棱锥p﹣abcd中，四边形abcd为直角梯形，ad∥bc，∠bad=90°，pa⊥底面abcd，且pa=ad=2，ab=bc=1，m为pd的中点．
ⅰ） 求证：cm∥平面pab；
ⅱ）求证：cd⊥平面pac．
15．如图，在四棱锥p﹣abcd中，底面abcd是矩形，o为底面中心，pa⊥平面abcd，pa=ad=2ab．m是pd的中点。
1）求证：直线mo∥平面pab；
2）求证：平面pcd⊥平面abm．
16．如图，在三棱锥p﹣abc中，平面abc⊥平面pac，ab=bc，e，f分别是pa，ac的中点．求证：
1）ef∥平面pbc；
2）平面bef⊥平面pac．
17．如图，三棱柱abc﹣a1b1c1中，底面为正三角形，aa1⊥平面abc，且aa1=ab=3，d 是bc的中点．
ⅰ）求证：a1b∥平面adc1；
ⅱ）求证：平面adc1⊥平面dcc1；
ⅲ）在侧棱cc1上是否存在一点e，使得三棱锥c﹣ade的体积是，若存在，求ce长；若不存在，说明理由．
18．如图，平行四边形abcd中，bd⊥cd，正方形adef所在的平面和平面abcd垂直，h是be的中点，g是ae，df的交点．
1）求证：gh∥平面cde；
2）求证：bd⊥平面cde．
19．如图所示，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，e是cd的中点，o为ae的中点，以ae为折痕将△ade向上折起，使d到p点位置，且pc=pb，f是bp的中点．
ⅰ）求证：cf∥面ape；
ⅱ）求证：po⊥面abce．
20.如图，在正三棱柱abc﹣a1b1c1中，底面abc为正三角形，m、n、g分别是棱cc1、ab、bc的中点．且．
1）求证：cn∥面amb1；
2）求证：b1m⊥面amg；
21．三棱锥p﹣abc中，pa=ac=bc=2，pa⊥平面abc，bc⊥ac，d、e分别是pc、pb的中点．
1）求证：de∥平面abc；
2 ）求证：ad⊥平面pbc；
3）求四棱锥a﹣bcde的体积．
22．如图，正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，ad⊥cd，ab∥cd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点．
i）求证：bm∥平面adef；
ⅱ）求证：平面bde⊥平面bec．
23．在四棱锥p﹣abcd中，pa⊥底面abcd，ab∥cd，ab⊥bc，ab=bc=1，dc=2，点e在pb上．
1）求证：平面aec⊥平面pad；
2）当pd∥平面aec时，求pe：eb的值．
24．如图，直三棱柱abc﹣a1b1c1中，∠acb=90°，m，n分别为a1b，b1c1的中点．
1）求证bc∥平面mnb1；
2）求证平面a1cb⊥平面acc1a1．
25．如图，正四棱锥s﹣abcd 的底面是边长为a正方形，o为底面对角线交点，侧棱长是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点．
ⅰ）求证：ac⊥sd；
ⅱ）若sd⊥平面pac，f为sd中点，求证：bf∥平面pac；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，侧棱sc上是否存在一点e，使得be∥平面pac．若存在，求se：ec的值；若不存在，试说明理由．
26．如图，在边长为a的菱形abcd中，∠abc=60°，pc⊥面abcd，pc=2a，e、f分别是pa和ab的中点．
1）求证：ef∥面pbc；
2）求证：平面pdb⊥平面pac；
3）求ef与平面pac所成的角的正切值．
27．在四面体abcd中，cb=cd，ad⊥bd，e，f分别是ab，bd的点，且ad∥平面cef，1）求证：ef∥ad；
2）若e是ab的中点，求证：bd⊥面efc．
28．如图，在正方形abcd﹣中，e，f分别是棱ab，bc中点．
1）求证：ef∥平面。
2）求证：ef⊥平面bb1d．
29．如图所示，在四棱锥p﹣abcd中，pd⊥平面abcd，ad⊥cd，ad=cd，db平分∠adc，e为pc的中点．求证：
1）pa∥平面bde；
2）ac⊥平面pbd．
30．如图所示，在四棱锥p﹣abcd中，底面四边形abcd是正方形，pd⊥平面abcd，e为pc的中点．
求证：1）pa∥平面bde；
2）ac⊥平面pbd．
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