一．解答题（共30小题）
1．（2014秋西城区期末）如图，四边形abcd为矩形，ad⊥平面abe，∠aeb=90°，f为ce上的点．
ⅰ）求证：ad∥平面bce；
ⅱ）求证：ae⊥bf．
解答】（本小题满分13分）
ⅰ）证明：因为四边形abcd为矩形，所以ad∥bc
又因为bc平面bce
ad平面bce
所以ad∥平面bce
ⅱ）证明：因为ad⊥平面abe
ad∥bcbc⊥平面abe
ae⊥bc因为∠aeb=90°
所以：ae⊥be
所以：ae⊥平面bce
bf平面bce
所以：ae⊥bf
2．（2014秋扬州期末）如图，斜三棱柱abc﹣a1b1c1中，侧面aa1c1c是菱形，ac1与a1c交于点o，e是ab的中点．求证：
1）oe∥平面bcc1b1；
2）若ac1⊥a1b，求证：ac1⊥bc．
解答】证明：（1）连结bc1．
侧面aa1c1c是菱形，ac1与a1c交于点o
o为ac1的中点。
e是ab的中点。
oe∥bc1；
oe平面bcc1b1，bc1平面bcc1b1
oe∥平面bcc1b1
2）∵侧面aa1c1c是菱形。
ac1⊥a1c
ac1⊥a1b，a1c∩a1b=a1，a1c平面a1bc，a1b平面a1bc
ac1⊥平面a1bc
bc平面a1bc
ac1⊥bc．
3．（2014秋宜宾期末）如图，在底面为平行四边形的四棱锥p﹣abcd中，ab⊥ac，pa⊥平面abcd，点e是pd的中点．
ⅰ）求证：pb∥平面aec；
ⅱ）求证：ac⊥pb．
解答】证明：（ⅰ连接bd交ac于点o，并连接eo，四边形abcd为平行四边形，o为bd的中点又∵e为pd的中点，在△pdb中eo为中位线，eo∥pb，pb面aec，eo面aec∴pb∥面aec．
ⅱ）∵pa⊥面abcd，ac面abcd，∴pa⊥ac，又∵ab⊥ac，pa∩ac=a，pa面pab，ab面pab，ac⊥面pab，ac⊥pb．
4．（2014秋达州期末）已知，如图，四边形abcd是平行四边形，点e是线段ab的中点，ac∩bd=o，点p是平面abcd外一点，pa=pc，pb=pd，bd⊥eo．
求证：（ⅰeo∥平面pbc．
ⅱ）bc⊥平面pbd．
解答】证明：（ⅰ四边形abcd是平行四边形，o是线段ac和bd的中点．…（1分）
点e是线段ab中点，eo∥bc．…（2分）
eo平面pbc，eo∥平面pbc．…（4分）
ⅱ）∵bd⊥eo，eo∥bc，bc⊥bd．…（5分）
pa=pc，pb=pd，o是线段ac和bd的中点，po⊥ac，po⊥bd．…（7分）
又bd∩ac=o，bd平面abcd，ac平面abcd，po⊥平面abcd．…（9分）
bc平面abcd，po⊥bc．…（10分）
po⊥bd=o，bd平面pbd，po平面pbd，bc⊥平面pbd．…（12分）
5．（2013秋西城区期末）如图，在四棱锥p﹣abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，pa=ad，e为pd中点．
ⅰ）证明：ab∥平面pcd；
ⅱ）证明：ae⊥平面pcd．
解答】证明：（ⅰ因为底面abcd为矩形，所以ab∥cd．
又因为 ab平面pcd，cd平面pcd，所以 ab∥平面pcd．
ⅱ）因为pa=ad，e为pd中点，所以 ae⊥pd，因为pa⊥平面abcd，所以 pa⊥cd．
又底面abcd为矩形，所以cd⊥ad．
所以cd⊥平面pad．
所以 cd⊥ae．
又ae⊥pd，pd∩cd=d
所以 ae⊥平面pcd．
6．（2013秋无锡期末）在三棱柱abc﹣a1b1c1中，已知平面bb1c1c⊥平面abc，ab=ac，d是bc中点，且b1d⊥bc1．
ⅰ）证明：a1c∥平面b1ad；
ⅱ）证明bc1⊥平面b1ad．
解答】证明：（ⅰ连结ba1交ab1与点o，由棱柱知侧面aa1b1b为平行四边形，o为ba1的中点，又d是bc的中点，od∥a1c，a1c平面b1ad，od平面b1ad，a1c∥平面b1ad．
ⅱ）∵d是bc的中点，ab=ac，ad⊥bc，平面bb1c1c⊥平面abc，平面bb1c1c∩平面abc=bc，ad平面abc，ad⊥平面bb1c1c，bc1平面bb1c1c，ad⊥bc1，又b1d⊥bc1，且ad∩b1d=d，bc1⊥平面b1ad．
7．（2013秋西城区期末）如图，在四棱锥中，底面abcd为矩形，pa⊥底面abcd，m、n分别是ab、pc中点．
ⅰ）求证：mn∥平面pad；
ⅱ）求证：ab⊥mn．
解答】证明：（ⅰ取pd中点q，连结aq，nq．
n是pc中点，又∵m是ab中点，四边形aqnm是平行四边形．
mn∥aq．
mn平面pad，aq平面pad，mn∥平面pad．
ⅱ）∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥ab．
又∵底面abcd为矩形，ab⊥ad．
ab⊥平面pad，ab⊥aq．
又∵aq∥mn，ab⊥mn．
8．（2013秋开封期末）四棱锥p﹣abcd的底面abcd是平行四边形，m、n分别是ab、pc的中点．
ⅰ）证明：mn∥平面pad．
ⅱ）若cm=pm，mn⊥ab，证明：平面pad⊥平面pdc．
解答】证明：（ⅰ作pb的中点g，连结ng，mg，n，g，均为中点，ng∥bc，bc∥ad，ng∥ad，ad平面pad，ng平面pad，ng∥平面pad，同理可知mg∥平面pad，mg平面mng，ng平面mng，mg∩ng=g，平面mng∥平面pad，mn平面mng，mn∥平面pad．
ⅱ）∵cm=pm，n为中点，mn⊥pc，ab∥cd，mn⊥ab，mn⊥cd，cd平面pdc，pc平面pdc，cd∩pc=c，mn⊥平面pdc，mn∥平面pad．
平面pad⊥平面pdc．
9．（2014秋滕州市校级月考）已知直三棱柱abc﹣a1b1c1的底面△abc中，∠c=90°，bc=，bb1=2，o是ab1的中点，d是ac的中点，m是cc1的中点，1）证明：od∥平面bb1c1c；
2）试证：bm⊥ab1．
解答】证明：（1）连b1c，∵o为ab1中点，d为ac中点，od∥b1c，又b1c平面bb1c1c，od平面bb1c1c，od∥平面bb1c1c．
2）连接b1c，直三棱柱abc﹣a1b1c1，∴cc1⊥平面abc
ac平面abc，cc1⊥ac，又ac⊥bc，cc1，bc平面bb1c1c，ac⊥平面bb1c1c，bm平面bb1c1c，ac⊥mb．
在rt△bcm与rt△b1bc中，==bmc∽△b1bc，∠cbm=∠bb1c，∠bb1c+∠b1bm=∠cbm+∠b1bm=90°，bm⊥b1c，ac，b1c平面ab1c，bm⊥ab1c，ab1平面ab1c，bm⊥ab1．
10．（2014春白下区校级月考）如图，三棱锥a﹣bcd被一平面所截，截面为平行四边形efgh，求证：
1）hg∥平面acd；
2）cd∥ef．
解答】（本题满分8分）
证明：（1）∵平行四边形efgh，hg∥ef，hg平面acd
ef平面acd，hg∥平面acd；…．4分）
2）∵hg∥平面acd
hg平面bcd，hg∥ef，平面acd∩平面acd=cd
cd∥ef…．（8分）
11．（2013和平区二模）如图，正三棱柱abc﹣a1b1c1中，，点d为a1c1的中点．
i）求证：bc1∥平面ab1d；
ii）求证：a1c⊥平面ab1d；
ⅲ）求异面直线ad与bc1所成角的大小．
解答】证明：（i）在三棱柱abc﹣a1b1c1中，连接a1b，交ab1于o点，连接od
在△a1bc1中，a1d=dc1，a1o=ob，od∥bc1，又∵od平面ab1d，bc1平面ab1d；
bc1∥平面ab1d；
ii）在三棱柱abc﹣a1b1c1中，a1a⊥平面a1b1c1；
b1d平面a1b1c1；
a1a⊥b1d
在△a1b1c1中，d为a1c1的中点。
b1d⊥a1c1
又∵a1a∩a1c1=a1，a1a，a1c1平面aa1c1c，b1d⊥平面aa1c1c，又∵a1c平面aa1c1c，b1d⊥a1c
又∵==∠da1a=∠a1ac=90°
△da1a∽△a1ac，∠ada1=∠ca1a
∠da1c+∠ca1a=90°
∠da1c+∠ada1=90°
a1c⊥ad
又∵b1d∩ad=d，b1d，ad平面ab1d；
a1c⊥平面ab1d；
解：（iii）由（i）得，od∥bc1，故ad与bc1所成的角即为∠ado
在△ado中，ad=，od=bc1=，ao=a1b=，ad2=od2+ao2，od=ao
△ado为等腰直角三角形。
故∠ado=45°
即异面直线ad与bc1所成角等于45°
12．（2013蔚县校级模拟）如图，在直三棱柱abc﹣a1b1c1中，ac=3，ab=5，bc=4，点d是ab的中点，1）求证：平面acc1⊥平面bcc1；
2）求证：ac1∥平面cdb1．
解答】证明：（1）∵在△abc中，ac=3，ab=5，bc=4，∴ac2+bc2=ab2，∴∠acb=90°．
ac⊥bc．
又在直三棱柱abc﹣a1b1c1中，cc1⊥平面abc，ac⊥cc1．
且bc∩cc1=c，ac⊥平面bcc1．
而ac平面acc1，平面acc1⊥平面bcc1．
2）设cb1与c1b的交点为e，连接de，d是ab的中点，e是bc1的中点，de∥ac1，de平面cdb1，ac1平面cdb1，ac1∥平面cdb1．
13．（2013盐城一模）在直三棱柱abc﹣a1b1c1中，ab⊥bc，d为棱cc1上任一点．
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