如图，在rtδabc中，ab = bc =4，点e**段ab上，过点e作ef//bc交ac于点f，将δaef沿ef折起到的位置(点a与p重合），使得。(i )求证：ef丄pb;
ii )试问：当点e在何处时，四棱锥p 一 efcb的侧面peb的面积最大？并求此时四棱锥p-efcb的体积。
解：（ⅰ证明：在rt中，，∴
又∵，∴平面。
平面，∴.ⅱ）设，，则。
过作于。又由（ⅰ）知，在中，，∴当且仅当，即为的中点时，面积最大。
此时在等腰直角三角形中，又， ∴
如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点、不重合，，．沿将折起到的位置，使得平面⊥平面．(ⅰ求证：平面；（ⅱ记三棱锥体积为，四棱锥体积为．求当取得最小值时的值．
ⅰ）证明：在菱形中， ，
，∴平面⊥平面，平面平面，且平面， 平面，∵ 平面， .所以平面。 4分。
ⅱ）连结，设。
由（ⅰ）知，．
， 5分。
设（）．由（ⅰ）知，平面，故为直角三角形．
， 7分。
当时，取得最小值，此时为中点． 8分。
， 9分。
， 10分。
． 11分。
当取得最小值时，的值为． 12分。
在直角梯形abcd中，adbc，, 如图（1）．把沿翻折，使得平面，如图（2）．（求证：；（求三棱锥的体积；（ⅲ**段上是否存在点n，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（ⅰ平面，2分。
又4分。ⅱ）如图（1）在。
在．如图（2），在，过点做于，∴．
ⅲ）**段上存在点n，使得，理由如下：
如图（2）在中，9分。
过点e做交于点n，则，10分。
又，又，∴．
**段上存在点n，使得，此时．……12分。
如图1，在正方形中，，是边的中点，是边上的一点，对角线分别交、于、两点．将折起，使重合于点，构成如图2所示的几何体．（ⅰ求证：平面；
ⅱ）试**：在图1中，在什么位置时，能使折起后的几何体中//平面，并给出证明。
解：（ⅰ又，面．
ⅱ）当点f为bc的中点时， 面．证明如下：当点f为bc的中点时，在图（1）中，分别是，的中点，所以8分。
即在图（2）中有9分。
又11分。所以面12分。
已知三棱柱abc－a1b1c1的侧棱垂直于底面，，分别是的中点。（ⅰ证明：平面；（ⅱ若点p线段bn上，且三棱锥p－amn的体积，求的值。
解：（i）证明：设ac的中点为d，连结dn，a1d。
d，n分别是ac，bc的中点，2分。
a1d//mn ……4分。
………6分。
ii）又m到底面abc的距离=aa1=2
………8分。
n为bc中点。
………9分。
………11分。
此时12分。
如图，在长方体abcd – a1b1c1d1中，e，h分别是棱a1b1,d1c1上的点（点e与b1不重合），且eh//a1d1。过eh的平面与棱bb1,cc1相交，交点分别为f，g。（i）证明：
ad//平面efgh；（ii）设ab=2aa1=2a。在长方体abcd-a1b1c1d1内随机选取一点，记该点取自于几何体a1abfe – d1dcgh内的概率为p。当点e，f分别在棱a1b1, b1b上运动且满足ef=a时，求p的最小值。
k^s*
一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中m、n分别是ab、ac的中点，g是df上的一动点。
1） 求证：gn⊥ac；（2）当fg=gd时，在棱ad上确定一点p，使得gp//平面fmc。并给出证明。
证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且。
底面adf中ad⊥df,df=ad=dc.
（ⅰ）连接db，可知b、n、d共线，且ac⊥dn.
又fd⊥ad fd⊥cd，fd⊥平面abcd. fd⊥ac.
ac⊥平面fdn .
gn⊥ac.
（ⅱ）点p在a点处。
证明：取dc中点s，连接as、gs、ga.
g是df的中点， gs//fc,as//cm.
面gsa//平面fmc，ga//平面fmc，即gp//平面fmc.
如图，已知矩形abcd中，ab=10，bc=6，将矩形沿对角线bd把△abd折起，使a移到a1点，且a1在平面bcd上的射影o恰好在cd上．（1）求证：bc⊥a1d；（2）求证：平面a1bc⊥平面a1bd；（3）求三棱锥a1-bcd的体积．
证明：（1）连接a1o，a1在平面bcd上的射影o在cd上，a1o⊥平面bcd，又bc平面bcd
bc⊥a1o
又bc⊥co，a1o∩co=o，bc⊥平面a1cd，又a1d平面a1cd，bc⊥a1d
2）∵abcd为矩形，∴a1d⊥a1b由（ⅰ）知a1d⊥bc，a1b∩bc=b
a1d⊥平面a1bc，又a1d平面a1bd
平面a1bc⊥平面a1bd
3）∵a1d⊥平面a1bc，a1d⊥a1c．
a1d=6，cd=10，∴a1c=8，va1-bcd=vb-a1cd=(68)6=48．
故所求三棱锥a1-bcd的体积为48．
如图，四边形abcd为正方形，qa⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=pd．（i）证明：pq⊥平面dcq；（ii）求棱锥q—abcd的的体积与棱锥p—dcq的体积的比值．
解：（i）由条件知pdaq为直角梯形。
因为qa⊥平面abcd，所以平面pdaq⊥平面abcd，交线为ad.
又四边形abcd为正方形，dc⊥ad，所以dc⊥平面pdaq，可得pq⊥dc.
在直角梯形pdaq中可得dq=pq=pd，则pq⊥qd
所以pq⊥平面dcq6分。
（ii）设ab=a.
由题设知aq为棱锥q—abcd的高，所以棱锥q—abcd的体积。
由（i）知pq为棱锥p—dcq的高，而pq=，△dcq的面积为，所以棱锥p—dcq的体积为。
故棱锥q—abcd的体积与棱锥p—dcq的体积的比值为1.……12分。
1. 垂直于同一直线的两条直线平行（×）
2. 垂直于同一平面的两条直线平行（√
3.平行于同一直线的两条直线平行（√）
4. 平行于同一平面的两条直线平行（×
5. 若直线l与平面内的一条直线平行，则直线l与平面平行（×
6. 若直线l与平面平行，则直线l与平面内的所有直线平行（×
7.若直线l与平面的两条直线垂直，则直线l垂直平面（×
8. 若直线l垂直平面，则直线l垂直平面内的所有直线（√
9.一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行（×
10两个平面同垂直于另一个平面，则这两个平面平行（×
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