第二轮专题复习：4、立体几何。
一。专题综述。
理科的立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．
二考点解析：1、三视图、直观图，2、空间几何体的体积、表面积，3、点线面的位置关系（4个公理异面直线：平移法求异面直线所成角平行：
线线平行—线面平行—面面平行垂直：线线垂直—线面垂直—面面垂直），4、空间向量，5、立几中的向量方法。
三基本题型：1、求几何体的表面积及体积，,2、证明空间线线、线面、面面平行或垂直，3、求空间角（异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角），4、求距离（两点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距）。
四方法提炼：
1．立体几何的图形设置最为常见的有：a三视图为背景还原几何体；b空间几何体（三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱等）；c空间组合体；d空间几何体的一部分图（如长方体、正方体的一角）；e平面图的折叠；f空间几何体的展开。
2．在解决几何体与三视图、几何图形的翻折与展开时，关键在于对照前后两种图形，分清哪些元素的位置关系、长度、角度等度量关系哪些改变了，哪些没有改变．
3．与空间几何体有关的**性问题、应用题问题等，先将其转化为数学问题，然后利用相关知识和方法解决．
4．应用向量法解决立体几何问题时常用如下方法和结论：
1) |ab|=|
2) 求法向量：找；求：设为平面内的任意两个向量， =x,y,z）为法向量，则由方程组{，可取出法向量。
3) 若异面直线ab、cd所成角，则cos==,cos一定为非负值)。
4)若直线ob与平面所成的角，则=|cos<>|其中为平面的法向量，ob是平面的斜线；若为特殊角，还可以进一步分析、求出：当<,>为锐角时，则=-<当<,>为钝角时，则=<,
5）若二面角的平面角为，则法一：（此时两个法向量一指向一指离），或（此时两个法向量同指向或同指离）；也可以这样分析：cos<,>从而求出<,>当指向（指离）平面且指向（指离）平面时，则=-<当指向（指离）平面且指离（指向）平面时，则=<,
法二：cos= (射影面积法)。
6）求异面直线a、b的距离的步骤：作异面直线a、b的公垂线的方向向量；
在直线a、b上各取一点a、b，作向量；求向量在上的射影d=,即为异面直线间的距离。
7）求点p到平面的距离：
pn|=|cos<,>n为垂足，m为斜足，为面的法向量）。
五典例解析。
1、[2011·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图所示，则相应的侧视图可以为( )
解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，，故侧视图选d.
2、【2012黑龙江绥化市一模理4】若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
解析】因为几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，几何体可。
以是三棱柱。【答案】c
3、【2012广东佛山市质检文】一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆。其中正确的是（ ）
ab． ②cd． ①
解析】由三视图的成图原则可知，正视图、侧视图的宽度不一样，故俯视图②正方形；③圆，选b。
4、【山东省日照市2012届高三12月月考理】（7）下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是。
abcd）①③
答案】c 解析：①的三个视图都相同；②的主视图与左视图相同，与俯视图不同；③的三个视图互不相同；④的主视图与左视图相同，而与俯视图不同。
5、[2011·辽宁卷] 如图，四棱锥s－abcd的底面为正方形，sd⊥底面abcd，则下列结论中不正确的是( )
a．ac⊥sb
b．ab∥平面scd
c．sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角。
d．ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角。
解析】 ①由sd⊥底面abcd，得sd⊥ac，又由于在正方形abcd中，bd⊥ac，sd∩bd＝d，所以ac⊥平面sbd，故ac⊥sb，即a正确．②由于ab∥cd，ab平面scd，cd平面scd，所以ab∥平面scd，即b正确．③设ac，bd交点为o，连结so，则由①知ac⊥平面sbd，则由直线与平面成角定义知sa与平面sbd所成的角为∠aso，sc与平面sbd所成的角为∠cso.由于△ads≌△cds，所以sa＝sc，所以△sac为等腰三角形，又由于o是ac的中点，所以∠aso＝∠cso，即c正确．④因为ad∥cd，所以ab与sc所成的角为∠scd，dc与sa所成的角为∠sab，∠scd与∠sab不相等，故d项不正确．【答案】d
6、【2012厦门市高三上学期期末质检文】已知直线m、n和平面α、β若α⊥βm，nα，要使n⊥β，则应增加的条件是。
a. m∥n b. n⊥m c. n∥α d. n⊥α
解析】本题主要考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系 . 属于基础知识、基本运算的考查。
已知直线m、n和平面α、β若α⊥βm，nα，应增加的条件n⊥m，才能使得n⊥β。答案】b
7、【2012金华十校高三上学期期末联考文】设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是。
a．若；b．若；
c．若，则。
d．若。解析】本题主要考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的有关知识。 属于基础知。
识、基本运算的考查。
需要才有，a错误。
若与可能平行、相交、也可能异面，b错误。
若与可能平行、相交、也可能异面，d错误。 【答案】 c
8、【2012泉州四校二次联考理7】设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
abc． d．
b【解析】由题意，球的直径是长方体的对角线，所以。
9、[2011·辽宁卷] 已知球的直径sc＝4，a，b是该球球面上的两点，ab＝，∠asc＝∠bsc＝30°，则棱锥s－abc的体积为( )
a．3 b．2 c. d．1
解析】 如图，过a作ad垂直sc于d，连接bd.
由于sc是球的直径，所以∠sac＝∠sbc＝90°，又∠asc＝∠bsc＝30°，又sc为公共边，所以△sac≌△sbc.由于ad⊥ sc，所以bd⊥sc.由此得sc⊥平面abd.
所以vs－abc＝vs－abd＋vc－abd＝s△abd·sc.
由于在直角三角形△sac中∠asc＝30°，sc＝4，所以ac＝2，sa＝2，由于ad＝＝.同理在直角三角形△bsc中也有bd＝＝.
又ab＝，所以△abd为正三角形，所以vs－abc＝s△abd·sc＝××2·sin60°×4＝，所以选c.
解题技巧点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图。
10.已知三棱柱，侧面侧面，，。
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的余弦值；
ⅲ）若，**段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。
解：（ⅰ取中点o，连接co，．，又2分，平面，平面3分。
ⅱ）由（ⅰ）又侧面侧面，侧面侧面=平面，而，∴，两两垂直．
如图，以o为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系o-xyz．则有5分。
设是平面abc的一个法向量，k^s*
是平面的一个法向量，由即解得。
令，∴．又，由即解得。
令7分。设二面角为，则，所以二面角的余弦值是． …9分。
ⅲ）假设存在满足条件的点e，∵，故可设10分。
则，平面，即，解得13分。
11.在如图所示的几何体中，平面abc，平面abc，，。
ⅰ）设ae=1，求此几何体的体积。
ⅱ）**段ab上是否存在一点m，使cm与平面cde所成的角为，若存在，指出m的位置，若不存在，说明理由。
解：（ⅰ如图，连接eb、ec，平面abc，平面abcea||db, ea||面dbc，e、a到面dbc的距离相等。
由知ac面dbc，故所求几何体体积v=+=
+=2. …5分。
ⅱ）如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则c(0，0，0)，．假设线段ab上存在点m，设，得7分。
设向量与平面垂直，则，即，．
因为，所以，即，得。
………12分。
即**段ab上存在点m，满足cm与平面cde所成的角为。 …13分。
注：其他方法参照给分。）k^s*
12．(2011·嘉兴模拟)如图，abcd是边长为3的正方形，de⊥平面abcd，af∥de，de＝3af，be与平面abcd所成角为60°.
1)求证：ac⊥平面bde；
2)求二面角f－be－d的余弦值；
3)设点m是线段bd上一个动点，试确定m的位置，使得am∥平面bef，并证明你的结论．
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