专题四：立体几何。
一、基础知识归类：】
1、三视图画法规则：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐。
长对正：主视图与俯视图的长应对正。
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等。
2、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；
侧视图（从左向右的正投影）；
俯视图（从上向下正投影）．
3、空间几何体的直观图——斜二测画法特点：
斜二测坐标系的轴与轴正方向成角； ②原来与x轴平行的线段仍然与x平行，长度不变；
原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半．
常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为：1．
4、特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）：
s=5、柱体、锥体、台体和球的体积公式：
v=6、空间线面的位置关系。
直线与直线：相交、平行、异面（不同在任何一个平面内的两条直线）；
直线与平面：属于aα、相交a∩α＝a、平行a∥α；
平面与平面：平行—没有公共点：α∥相交—有一条公共直线：α∩b．
7、垂直和平行证明问题的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：
1.平行转化。
2.垂直转化。
同时注意结合运用中位线定理、勾股定理、等腰（等边）三角形“三线合一”；
平行四边形两组对边分别平行且相等，对角线互相平分；
菱形对边平行且四边相等，对角线互相垂直平分并平分对角；
矩形对边平行且相等，四个角为直角，以及对角线互相平分且相等；
正方形对边平行且四边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分且相等并平分对角；
梯形上底和下底平行； 圆直径对应圆周角为直角、垂径定理、过切点的半径垂直于切线等．
8、立体几何中体积的求法：直接法、割补法、等积转化等方法．
9、（1）求异面直线所成的角θ∈（0，]．
平移转化法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可．
空间向量法：．
2）求直线与平面所成的角θ∈．
一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角．
法向量求直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=．
3）求二面角θ∈(0，π)
1）直接法求二面角通常有：①根据定义作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；
利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行．
2）间接法主要是投影法：即在一个平面α上的图形面积为s，它在另一个平面β上的。
投影面积为s′，这两个平面的夹角为θ，则s′=scosθ．
3）法向量求二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．
10．空间求距离。
1）用法向量求异面直线间的距离：如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b
的法向量，点e∈a，f∈b，则异面直线a与b之间的距离是．
2）求点到平面的距离：①法向量：如右图所示，已知ab是平面α的。
一条斜线，为平面α的法向量，则 a到平面α的距离为；
等体积法：即求棱锥的高．
3）用法向量求直线到平面间的距离：首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题．
4）用法向量求两平行平面间的距离：首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题．
二、专题练习：】
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1．（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为（ ）
a．2a2b．a2 c． d．
2．（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
abcd．
3．用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ）
abcd．
4．如图，正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
ab． cd．
5．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无。
数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ ）条件。
a．充要 b．充分非必要 c．必要非充分 d．既非充分又非必要。
6．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（ ）
ab．cd．
7．如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则bc1与平面bb1d1d所成角的余弦值为（ ）ab
cd.8．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
∥截面。
异面直线与所成的角为。
9．（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的。
体积等于（ ）
a．4b．6
c．8d．12
10．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
a． b．
c． d．
11．如图，为正方体，下面结论错误的是（ ）
a）平面 （b）
c）平面 （d）异面直线与所成的角为。
12．正六棱锥p－abcdef中，g为pb的中点，则三棱锥d－gac与三棱锥p－gac体积之比为（ ）
a．1：1 b．1：2 c．2：1 d．3：2
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是。
14．在半径为13的球面上有a ， b， c 三点，ab=6，bc=8，ca=10，则球心到平面abc的距离为 ．
15．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形abcd是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是。
16．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点，作，为垂足．设，则的取值范围是。
三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17．如图，四棱锥p—abcd的底面abcd是正方形，侧棱pd⊥底面abcd，pd=dc，e是pc的中点．
（ⅰ）证明pa//平面bde；
（ⅱ）求二面角b—de—c的平面角的余弦值；
（ⅲ）在棱pb上是否存在点f，使pb⊥平面def？证明你的结论．
18．（2009东莞一模）如图，在长方体，点e在棱ab上移动，小蚂蚁从点a沿长方体的表面爬到点c1，所爬的最短路程为．
（1）求证：d1e⊥a1d；
2）求ab的长度；
（3）**段ab上是否存在点e，使得二面角．若存在，确定点e的位置；若不存在，请说明理由．
19．（2009番禺一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，若、分别为线段、的中点．
1）求证：直线// 平面；
2）求证：平面平面；
3）求二面角的正切值．
20．（广东省湛江二中2010届高三第四次月考）如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是正方形，pa⊥底面abcd，垂足为a，pa=ab，点m在棱pd上，pb∥平面acm．
1）试确定点m的位置；
2）计算直线pb与平面mac的距离；
3）设点e在棱pc上，当点e在何处时，使得ae⊥平面pbd？
21．（2009汕头一模）如图，己知bcd中，∠bcd = 900，bc＝cd＝1，ab⊥平面bcd，∠adb＝600，e、f分别是ac、ad上的动点，且．
1）求证：不论为何值，总有平面bef⊥平面abc；
（2）若平面bef与平面bcd所成的二面角的大小为60°，求的值．
22．如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，．
（i）求证：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值；
（ⅲ）求点到平面的距离．
参***】一、选择题。
1．c 2．d
3．答案：b 解析：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，所以根据球的体积公式知，故b为正确答案．
4．d5．答案：c 解析：直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直，即充分性不成立．
6．答案：a 解析：棱锥的直观图如右，则有po＝4，od＝3，由勾股定理，得pd＝5，ab＝6，全面积为：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选a．
7．【解析】选d. 连与交于o点，再连bo,则为bc1与平面bb1d1d所成的角。，
8—9：d a
10．答案：c 解析：由，∥得，又，可知，故的一个充分条件是c．
11．【解析】选d．显然异面直线与所成的角为．
12．【解析】选c .由于g是pb的中点，故p－gac的体积等于b－gac的体积。
在底面正六边形abcder中。
bh＝abtan30°＝ab
而bd＝ab 故dh＝2bh
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