立体几何练习。
1、如图5，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，d是cb延长线上一点，且。求二面角的大小。
2、四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，
ⅰ）证明；ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。
3、右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．
已知，，，1）设点是的中点，证明：平面；
2）求二面角的大小；
3）求此几何体的体积．
4、如图，在四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，
ⅰ）求证：平面bcd；
ⅱ）求异面直线ab与cd所成角的余弦值；
ⅲ）求点e到平面acd的距离．
5、如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且， ．
i）求证：平面；
ii）当角变化时，求直线与平面所成的角的取值范围．
6、如图，在长方体，点e在棱ab上移动，小蚂蚁从点a沿长方体的表面爬到点c1，所爬的最短路程为。
（1）求证：d1e⊥a1d；
2）求ab的长度；
（3）**段ab上是否存在点e，使得二面角。
若存在，确定。
点e的位置；若不存在，请说明理由。
7、如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；
3）当时，求的面积．
立体几何专题练习答案2009-4-17
1、解取bc的中点o，连ao。由题意
平面平面，平面，以o为原点，建立如图5所示空间直角坐标系，
则，，，∴，由题意平面abd， ∴为平面abd的法向量。
设平面的法向量为，则即。
不妨设，由，故所求二面角的大小为。
2、解：（ⅰ作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，，，所以．
ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与平面所成的角记为。
3、解：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，．
易知，是平面的一个法向量．
因为，平面，所以平面．
2），设是平面的一个法向量，则。
则，得： 取，．
显然，为平面的一个法向量．结合图形可知所求二面角为锐角，设为。
则，所以二面角的大小是．
3）因为，所以。
所求几何体体积为．
4、⑴．证明：连结oc
在中，由已知可得而， 即
∴平面． ．解：以o为原点，如图建立空间直角坐标系，则，
∴ 异面直线ab与cd所成角的余弦值为．
⑶．解：设平面acd的法向量为则，∴，令得是平面acd的一个法向量．又
点e到平面acd的距离 ．
5、解：（ⅰ以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，，
从而，即．同理，即．又，平面．又平面．
平面平面．ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由．得。
可取，又，于是，，．
又，．即直线与平面所成角的取值范围为．
6、解：（1）证明：连结ad1，由长方体的性质可知：
ae⊥平面ad1，∴ad1是ed1在。
平面ad1内的射影。又∵ad=aa1=1，
ad1⊥a1d
d1e⊥a1d1（三垂线定理） 4分。
2）设ab=x，∵四边形add1a是正方形，小蚂蚁从点a沿长方体的表面爬到。
点c1可能有两种途径，如图甲的最短路程为。
如图乙的最短路程为。
………9分。
3）假设存在，平面dec的法向量，
设平面d1ec的法向量，则
………12分。
由题意得：
解得：（舍去）
……14分。
7、（1）在中，，
而pd垂直底面abcd，
在中，,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为，由有，即。
2),而，即，是直角三角形；
3）时， ,即，的面积。
理科立体几何专题
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