立体几何典型题。
例1】（全国，16）如图（1）所示，e、f分别为正方体的面add1a1、面bcc1b1的中心，则四边形bfd1e在该正方体的面上的射影可能是图（2）的 （要求：把可能的图的序号都填上）
图（1）图（2）
答案：②③解析：∵面bfd1e⊥面add1a1，所以四边形bfd1e在面add1a1上的射影是③，同理，在面bcc1b1上的射影也是③。
过e、f分别作dd1和cc1的垂线，可得四边形bfd1e在面dcc1d1上的射影是②，同理在面abb1a1，面abcd和面a1b1c1d1上的射影也是②。
例2】如图，△abc 为正三角形，ec ⊥平面abc ，bd ∥ce ，ce ＝ca ＝2 bd ，m 是ea 的中点，求证：（1）de ＝da ；（2）平面bdm ⊥平面eca ；（3）平面dea ⊥平面eca。
证明：（1）如图，取ec 中点f ，连结df。
ec ⊥平面abc ，bd ∥ce ，得db ⊥平面abc 。
db ⊥ab ，ec ⊥bc。
bd ∥ce ，bd ＝ce ＝fc ，则四边形fcbd 是矩形，df ⊥ec。
又ba ＝bc ＝df ， rt△def ≌rt△abd ，所以de ＝da。
2）取ac 中点n ，连结mn 、nb ， m 是ea 的中点， mn ec。
由bd ec ，且bd ⊥平面abc ，可得四边形mnbd 是矩形，于是dm ⊥mn。
de ＝da ，m 是ea 的中点， dm ⊥ea ．又ea mn ＝m ， dm ⊥平面eca ，而dm 平面bdm ，则平面eca ⊥平面bdm。
3）∵ dm ⊥平面eca ，dm 平面dea ， 平面dea ⊥平面eca。
点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3】（2009江西卷理）（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点。
1）求证：平面⊥平面。
2）求直线与平面所成的角的大小；
3）求点到平面的距离。
解：方法一：（1）依题设知，ac是所作球面的直径，则am⊥mc。
又因为p a⊥平面abcd，则pa⊥cd，又cd⊥ad，所以cd⊥平面ｐａｄ则cd⊥am，所以a m⊥平面pcd，所以平面abm⊥平面pcd。
2）由（1）知，，又，则是的中点可得。
则。设d到平面acm的距离为，由即，可求得，设所求角为，则，。
1） 可求得pc=6。因为an⊥nc，由，得pn。所以。
故n点到平面acm的距离等于p点到平面acm距离的。
又因为m是pd的中点，则p、d到平面acm的距离相等，由（2）可知所求距离为。
方法二：1）同方法一；
2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的一个法向量，由可得：，令，则。
设所求角为，则，所以所求角的大小为。
3）由条件可得，.在中，,所以，则， ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。
例4】（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
如图，四棱锥s-abcd 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，p为侧棱sd上的点。
ⅰ）求证：ac⊥sd；
ⅱ）若sd⊥平面pac，求二面角p-ac-d的大小。
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，侧棱sc上是否存在一点e， 使得be∥平面pac。若存在，求se：ec的值；若不存在，试说明理由。
解法一：（ⅰ）连bd，设ac交bd于o，由题意。在正方形abcd中，，所以，得。
(ⅱ)设正方形边长，则。
又，所以，连，由（ⅰ）知，所以，
且，所以是二面角的平面角。
由，知，所以，即二面角的大小为。
（ⅲ）在棱sc上存在一点e，使。
由（ⅱ）可得，故可在上取一点，使，过作的平行线与的交点即为。连bn。在中知，又由于，故平面，得，由于，故。
解法二：（ⅰ）连，设交于于，由题意知。以o为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。
设底面边长为，则高。于是 故
从而 (ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则，所求二面角的大小为。
（ⅲ）在棱上存在一点使。
由（ⅱ）知是平面的一个法向量，且 设。则
而 即当时，
而不在平面内，故。
例5】（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（ⅰ问7分，（ⅱ问6分）
如题（18）图，在五面体中，∥，四边形为平行四边形，平面，．求：
ⅰ）直线到平面的距离；
ⅱ）二面角的平面角的正切值．
解法一：ⅰ）平面， ab到面的距离等于点a到面的距离，过点a作于g，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以ag为所求直线ab到面的距离。
在中，由平面，得ad，从而在中，即直线到平面的距离为。
ⅱ）由己知，平面，得ad，又由，知，故平面abfe
所以，为二面角的平面角，记为。
在中， ,由得，从而。
在中， ,故。
所以二面角的平面角的正切值为。
例6】 如图，在正三棱柱a1b1c1—abc中，d，e分别是棱bc、的中点，ab=aa1=2．
(ⅰ)证明：；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求异面直线与be的距离．
证明：（ⅰ以a为原点，建立如图的空间直角坐标系，易知各点坐标。
a(0,0,0), b(,1,0)，b1(,1,0), e(0,2,1),则，即。
ⅱ）易知：，设是平面的一个法向量，则，令
则，，设是平面一个法向量，则，令则。
设二面角为，则。
ⅲ）设是与be的法向量，则，可得：取 y=3, 可知。
例7】（2013江西（文））如图，直四棱柱abcd – a1b1c1d1中，ab//cd,ad⊥ab,ab=2,ad=,aa1=3,e为cd上一点，de=1,ec=3。
1) 证明：be⊥平面bb1c1c;
2) 求点b1 到平面ea1c1 的距离。
答案】解。(1)证明：过b作cd的垂线交cd于f,则
在 在，故 由
同理， 因此。设点b1到平面的距离为d,则
从而 例8】（2013浙江（理））如图，在四面体中，平面，.是的中点， 是的中点，点**段上，且。
1)证明：平面；(2)若二面角的大小为，求的大小。
答案】解：证明(ⅰ)方法一：如图6,取的中点，且是中点，所以。因为是中点，所以；又因为(ⅰ)且，所以，所以面面，且面，所以面；
方法二：如图7所示，取中点，且是中点，所以；取的三等分点，使，且，所以，所以，且，所以面；
ⅱ)如图8所示，由已知得到面面，过作于，所以，过作于，连接，所以就是的二面角；由已知得到，设，所以
在中， ,所以在中， ,所以在中
例9】（2013上海（理））如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=2,ad=1,a1a=1,证明直线bc1平行于平面da1c,并求直线bc1到平面d1ac的距离。
答案】因为abcd-a1b1c1d1为长方体，故，
故abc1d1为平行四边形，故，显然b不在平面d1ac上，于是直线bc1平行于平面da1c;
直线bc1到平面d1ac的距离即为点b到平面d1ac的距离设为
考虑三棱锥abcd1的体积，以abc为底面，可得
而中， ,故
所以， ,即直线bc1到平面d1ac的距离为。
例10】（2013广东（理））如图1,在等腰直角三角形中， ,分别是上的点， ,为的中点。将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中。
ⅰ) 证明：平面求二面角的平面角的余弦值。
答案】(ⅰ在图1中，易得
连结，在中，由余弦定理可得
由翻折不变性可知，
所以，所以，
理可证， 又，所以平面。
ⅱ) 传统法：过作交的延长线于，连结，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角。
结合图1可知，为中点，故，从而
所以，所以二面角的平面角的余弦值为。
向量法：以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则， ,所以，
设为平面的法向量，则
即，解得，令，得
由(ⅰ)知，为平面的一个法向量，
所以，即二面角的平面角的余弦值为。
理科立体几何
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