单独成册]
一、选择题
1．如果向量，，满足||＝则( )
ab．＝－c.与同向 d．与同向。
答案：d2.如图，正四面体abcd的顶点a，b，c分别在两两垂直的三条射线ox，oy，oz上，则在下列命题中，错误的为( )
a．oabc是正三棱锥。
b．直线ob∥平面acd
c．直线ad与ob所成的角是45°
d．二面角doba为45°
解析：选b.依题意，将正四面体补成一个正方体，且点o恰好是该正方体的一个顶点，由此不难得知oabc是正三棱锥，直线ob与平面acd相交(注意观察与直线ob平行的直线与平面acd是相交的)，直线ad与ob所成的角是45°，二面角doba为45°.
综上所述，选b.
3．已知点a在基底下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点a在基底下的坐标为( )
a．(12,14,10) b．(10,12,14)
c．(14,10,12) d．(4,2,3)
答案：a4．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( )
a．a与b共线 b．a与b同向。
c．a与b反向 d．a与b共面。
解析：选a.当向量a，b共线时，空间中的任意向量都与它们共面．
5．已知向量a＝(3,5,0)，b＝(1,2，－1)，则|a－2b|等于( )
a．6 b．
c．2 d．3
解析：选。所以|a－2b|＝＝故选b.
6．已知点m在平面abc内，并且对空间任意一点o，有＝x＋＋，则x的值为( )
a．1 b．0
c．3 d．
答案：d7．设p是△abc的重心，若＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，则＝(
a. b．c. d．
解析：选d.设d是bc的中点，则＝＝＝c－b)．
8．若a⊥c，b⊥c，d＝λa＋μb(λ，r，λμ0)，则c与d( )
a．平行 b．垂直。
c．既不平行也不垂直 d．无法确定。
解析：选b.由c·d＝c·(λa＋μb)＝c·(λa)＋c·(μb)＝0，则c与d垂直，故选b.
9．在空间四边形abcd中。
a．－1 b．0
c．1 d．不确定。
解析：选b.如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·
a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
10.如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为a1c1与b1d1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
a．－ a＋b＋c b． a＋b＋c
c．－ a－b＋c d． a－b＋c
解析：选a.＝＋c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
11．o为空间任意一点，若＝＋＋则a，b，c，p四点( )
a．一定不共面 b．一定共面。
c．不一定共面 d.无法判断。
解析：选b.因为＝＋＋且＋＋＝1.所以p，a，b，c四点共面．
12．一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
解析：选a.作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选a.
13．在正方体abcda1b1c1d1中，＝，x＋y(＋)则( )
a．x＝1，y＝ b．x＝1，y＝
c．x＝，y＝1 d．x＝1，y＝
解析：选d所以x＝1，y＝.故选d.
14．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )
a．45° b．135°
c．45°或135° d．90°
解析：选。即〈m，n〉＝45°.
所以两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°.
15．平面α经过三点a(－1,0,1)，b(1,1,2)，c(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )
a. b．(6，－2，－2)
c．(4,2,2) d．(－1,1,4)
解析：选d.设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选d.
16．已知＝(1,2,3)，＝2,1,2)，＝1,1,2)，点q在直线op上运动，则当·取得最小值时，点q的坐标为( )
a. b．c. d．
解析：选b.因为点q在直线op上运动，所以＝λ＝2λ)，所以－＝＝1－λ，2－λ，3－2λ)，2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ)2－λ)2－λ)1－λ)3－2λ)(2－2λ)
6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时，·取得最小值，此时q，故选b.
17．在直三棱柱a1b1c1abc中，∠bca＝90°，点d1，f1分别是a1b1，a1c1的中点，bc＝ca＝cc1，则bd1与af1所成角的余弦值是( )
a. b．c. d．
解析：选a.
建立如图所示的空间直角坐标系，设bc＝1，则a(－1,0,0)，f1，b(0，－1,0)，d1，则＝，＝
所以cos〈，〉
18．在四棱锥pabcd中，侧面pad为正三角形，底面abcd为正方形，侧面pad⊥底面abcd，m为底面abcd内的一个动点，且满足mp＝mc，则点m在正方形abcd内的轨迹为( )
解析：选a.
以d为原点，da、dc所在直线分别为x、y轴建系如图所示．设m(x，y,0)，设正方形的边长为a，则p，c(0，a,0)，则|mc|＝，mp|＝.
由|mp|＝|mc|得x＝2y，所以点m在正方形abcd内的轨迹为直线y＝x的一部分．
二、填空题。
19．若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是填序号)
n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)；
n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)；
n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)；
n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)．
解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有①中的两个向量垂直．
答案：①20．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，r，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是___
a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
解析：因为λ2＋μ2≠0，所以当λ＝0时，μ≠0，此时a＝μe2，所以a与e2共线；
同理当μ＝0时，λ≠0，此时a＝λe1，所以a与e1共线；
当λ≠0且μ≠0时，由a＝λe1＋μe2得a与e1，e2共面．
综上可知，这三个结论都有可能正确．
答案：①②21．在三棱锥sabc中，△abc是边长为2的正三角形，sa＝sb＝sc＝4，平面defh分别与三棱锥sabc的四条棱ab、bc、sc、sa交于d、e、f、h，若直线sb∥平面defh，直线ac∥平面defh，则平面defh与平面sac所成二面角(锐角)的余弦值等于___
解析：取ac的中点g，连接sg、bg分别交hf、de于m、n，连接mn.易知sg⊥ac，bg⊥ac，故ac⊥平面sgb.
因为ac∥平面defh，ac平面sac，平面sac∩平面defh＝hf，则ac∥hf，所以hf⊥平面sgb，所以hf⊥mn，hf⊥mg，∠nmg即为平面defh与平面sac所成二面角的平面角．同上由sb∥平面defh可知sb∥dh，又易知mn∥dh，所以mn∥sb，所以∠nmg＝∠bsg.易知sg＝，gb＝，所以cos∠bsg＝＝.故所求二面角的余弦值为。
答案：22．已知空间三点a(0,2,3)，b(－2,1,6)，c(1，－1,5)，则以||，为边的平行四边形的面积为。
解析：由题意可得：
(－2，－1,3)，＝1，－3,2)，所以cos〈，〉
所以sin〈，〉所以以||，为边的平行四边形的面积。
s＝2×||sin〈，〉14×＝7.
答案：7三、解答题。
23．如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，m，n，e，f分别是棱a1b1，a1d1，b1c1，c1d1的中点．求证：平面amn∥平面efdb.
证明：如图，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为a，则a(a,0,0)，a1(a,0，a)，d1(0,0，a)，b1(a，a，a)，b(a，a,0)，c1(0，a，a)．
所以n，m，e，f，所以＝，，a，a,0)，.
设平面amn与平面efdb的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，则。
所以。所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，所以平面amn的一个法向量为m＝(2，－2,1)．
同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，所以平面efdb的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
因为m＝n，所以m∥n，所以平面amn∥平面efdb.
24．如图，在直三棱柱a1b1c1abc中，ab⊥ac，ab＝ac＝2，a1a＝4，点d是bc的中点．
1)求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；
2)求平面adc1与平面aba1夹角的正弦值．
解：(1)以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，d(1,1,0)，a1(0,0,4)，c1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝1，－1，－4)．
因为cos〈，〉
＝，所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为。
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