[第14讲空间向量与立体几何]
1．已知向量是空间的一基底，向量是空间的另一基底，一向量p在基底下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底下的坐标是( )
a．(4,0,3b．(3,1,3)
c．(1,2,3d．(2,1,3)
2．对于空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，有＝x＋y＋z (x，y，z∈r)，则x＝2，y＝－3，z＝2是p，a，b，c四点共面的( )
a．必要不充分条件 b．充分不必要条件 c．充要条件 d．既不充分又不必要条件。
3．在空间直角坐标系中，点m(5,1，－2)关于xoz面的对称点坐标为___
4．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x
1．平面α的一个法向量n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( )
ab. cd.
2．平面α，β的法向量分别是n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成角的余弦值是( )
ab．－cd．－
3．点m在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为，则点m的坐标是( )
a．(0,0，±2b．(0,0，±3)
c．(0,0d．(0,0，±1)
4．在棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1中，p为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1.则点p所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )
a．1bcd.
5．平面α经过点a(0,0,2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则x轴与平面α的交点坐标是___
6．如图14－1，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体abcd－a1b1c1d1，点m是线段dc1上的动点，则点m到直线ad1距离的最小值是___
图14－17.如图14－2，三棱柱abc－a1b1c1中，∠bca＝90°，ac＝bc＝2，a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d，又知ba1⊥ac1.
1)求证：ac1⊥平面a1bc；
2)求二面角a－a1b－c的余弦值．
图14－28．如图14－3，在底面是正方形的四棱锥p－abcd中，pa⊥面abcd，bd交ac于点e，f是pc中点，g为ac上一点．
1)求证：bd⊥fg；
2)确定点g**段ac上的位置，使fg∥平面pbd，并说明理由；
3)当二面角b－pc－d的大小为时，求pc与底面abcd所成角的正切值．
专题限时集训(十四)
基础演练】1．b 【解析】 设p在基底下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又p＝4a＋2b＋3c，故(x＋y)a＋(x－y)b＋zc＝4a＋2b＋3c，由于a，b，c不共面，根据平面向量基本定理得x＋y＝4，x－y＝2，z＝3，即x＝3，y＝1，z＝3，即p在基底下的坐标是(3,1,3)．
2．b 【解析】 当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2，则－＝2－3(－)2(－)即＝－3＋2，根据共面向量定理，p，a，b，c四点共面；反之当p，a，b，c四点共面时，根据共面向量定理＝m＋n，即－＝m(－)n(－)即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故x＝2，y＝－3，z＝2是p，a，b，c四点共面的充分不必要条件．
3．(5，－1，－2) 【解析】 m关于xoz面的对称点第一和第三坐标不变，第二坐标互为相反数，故m关于xoz面的对称点的坐标是(5，－1，－2)．在空间直角坐标系中求一个点关于坐标原点、坐标轴和坐标平面的对称点的坐标，不要死记，只要根据中点坐标公式即可，如求点m(x，y，z)关于z轴的对称点m′的坐标时，这个点在z轴上的射影点(0,0，z)就是点m，m′的中点，根据中点坐标公式可得m′(－x，－y，z)．
4．2 【解析】 ∵c＝(1,1,1)，a＝(1,1，x)，∴c－a＝(0,0,1－x)，∴c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
提升训练】1．b 【解析】 y轴的方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝＝即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角是。
2．c 【解析】 cos〈n1，n2〉＝＝故平面α，β所成角的余弦值是。
3．b 【解析】 设m(0,0，z)，直线的一个单位方向向量s0＝，故点m到直线l的距离d＝＝＝解得z＝±3.
4．d 【解析】 根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点p在三棱柱acd－a1c1d1内，满足0≤y≤z≤1的点p在三棱柱aa1d1－bb1c1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点p在这两个三棱柱的公共部分，即图中的三棱锥a－a1c1d1内，其体积是××1×1×1＝.
5．(－2,0,0) 【解析】 设交点m(x,0,0)，＝x,0，－2)，平面α的一个单位法向量是n0＝，点m到平面α的距离d＝|·n0|＝＝0得x＝－2，故x轴与平面α的交点坐标是(－2,0,0)．
6. a 【解析】 设m(0，m，m)(0≤m≤a)，＝a,0，a)，直线ad1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点m到直线ad1的距离d＝＝＝根式内的二次函数当m＝－＝时取最小值2－a×＋a2＝a2，故d的最小值为a.
7．【解答】 (1)如图，设a1d＝t(t>0)，取ab的中点e，则de∥bc，因为bc⊥ac，所以de⊥ac，又a1d⊥平面abc，以de，dc，da1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a(0，－1,0)，c(0,1,0)，b(2,1,0)，a1(0,0，t)，c1(0,2，t)，(0,3，t)，＝2，－1，t)，(2,0,0)，由1·＝0，知ac1⊥cb，又ba1⊥ac1，ba1∩cb＝b，所以ac1⊥平面a1bc.
2)由·＝－3＋t2＝0，得t＝.
设平面a1ab的法向量为n＝(x，y，z)，(0,1，)，2,2,0)，所以设z＝1，则n＝(，1)．
再设平面a1bc的法向量为m＝(u，v，w)，(0，－1，)，2,0,0)，所以设w＝1，则m＝(0，，1)．
故cos〈m，n〉＝＝因为二面角a－a1b－c为锐角，所以可知二面角a－a1b－c的余弦值为。
8．【解答】 (1)以a为原点，ab、ad、pa所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系a－xyz如图所示，设正方形abcd的边长为1，pa＝a，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，p(0,0，a)(a>0)，e，f，g(m，m,0)(0(1)＝(1,1,0)，＝m＋＋m－＋0＝0.∴bd⊥fg.
2)要使fg∥平面pbd，只需fg∥ep，而＝，由＝λ可得。
解得λ＝，m＝，g，＝，故当ag＝ac时，fg∥平面pbd.
3)设平面pbc的一个法向量为u＝(x，y，z)，则而＝(1,1，－a)，＝0,1,0)，取z＝1，得u＝(a,0,1)，同理可得平面pdc的一个法向量v＝(0，a,1)，设u，v所成的角为θ，则|cosθ|＝即＝，∴a＝1，pa⊥面abcd，∴∠pca就是pc与底面abcd所成的角，tan∠pca＝＝＝
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